Phương trình tuyến tính và phương trình Pell

Các phương trình Diophantine tuyến tính được giải hoàn toàn bằng thuật toán Euclid, trong khi phương trình Pell, tìm kiếm các nghiệm nguyên của x bình phương trừ d y bình phương bằng một, tiết lộ cấu trúc sâu sắc của các trường bậc hai thực thông qua các phân số liên tục.

Definition

Một phương trình Diophantine tuyến tính tìm kiếm các nghiệm nguyên của một phương trình tuyến tính với các hệ số nguyên; phương trình Pell là phương trình Diophantine bậc hai x bình phương trừ d y bình phương bằng một đối với một số nguyên dương d không phải là số chính phương, với các nghiệm tạo thành một họ vô hạn, được tạo ra hữu hạn.

Scope

Chủ đề này bao gồm các phương trình Diophantine tuyến tính với hai hoặc nhiều biến và lời giải đầy đủ của chúng thông qua ước số chung lớn nhất và đồng nhất thức Bezout, phương trình Pell và các dạng âm và tổng quát của nó, khai triển phân số liên tục của các số vô tỉ bậc hai, nghiệm cơ bản và cách tất cả các nghiệm được tạo ra từ nó, và mối liên hệ với các đơn vị và đơn vị cơ bản của một trường bậc hai thực.

Core questions

• Khi nào một phương trình Diophantine tuyến tính có nghiệm nguyên, và tập nghiệm đầy đủ được mô tả như thế nào?
• Tại sao phương trình Pell luôn có nghiệm không tầm thường đối với d không phải là số chính phương?
• Làm thế nào khai triển phân số liên tục của căn bậc hai của d tạo ra nghiệm cơ bản?
• Tất cả các nghiệm Pell được tạo ra từ nghiệm cơ bản như thế nào, và điều này liên quan đến các đơn vị của một trường bậc hai như thế nào?

Key theories

Tính giải được của các phương trình Diophantine tuyến tính

Phương trình a x cộng b y bằng c có nghiệm nguyên chính xác khi ước số chung lớn nhất của a và b chia hết c, và đồng nhất thức Bezout sau đó cho một nghiệm riêng và họ một tham số đầy đủ.

Sự tồn tại và cấu trúc của các nghiệm Pell

Đối với d không phải là số chính phương, phương trình Pell có vô số nghiệm; một nghiệm cơ bản tồn tại, và tất cả các nghiệm khác được thu được bằng cách lấy lũy thừa của đơn vị tương ứng trong trường bậc hai thực.

Phân số liên tục và số vô tỉ bậc hai

Khai triển phân số liên tục của căn bậc hai của d là tuần hoàn cuối cùng, và các hội tụ của nó cung cấp nghiệm Pell cơ bản, liên kết tính giải được của Diophantine với xấp xỉ Diophantine.

Clinical relevance

Các phương trình dạng Pell và phân số liên tục xuất hiện trong các thuật toán để tính toán các đơn vị cơ bản và các bộ điều chỉnh của các trường bậc hai và trong việc xấp xỉ các tỉ số vô tỉ, với ứng dụng thực tế trong thiết kế lịch, tỉ số truyền động và giảm lưới.

History

Các nhà toán học Ấn Độ, đáng chú ý là Brahmagupta vào thế kỷ thứ bảy và Bhaskara II với phương pháp chakravala, đã giải phương trình Pell nhiều thế kỷ trước châu Âu. Fermat đã đặt ra nó như một thách thức, và Lagrange đã đưa ra bằng chứng hoàn chỉnh đầu tiên ở châu Âu vào năm 1768; tên Pell là một sự gán nhầm lịch sử của Euler.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

Tại sao nó được gọi là phương trình Pell?

Do một sai lầm lịch sử: Euler đã gán phương trình cho John Pell, mặc dù Pell ít nghiên cứu về nó; những tiến bộ đáng kể ban đầu được thực hiện bởi các nhà toán học Ấn Độ và bởi Fermat và Lagrange.

Làm thế nào để tìm một nghiệm Pell?

Khai triển căn bậc hai của d thành một phân số liên tục; các hội tụ tuần hoàn của nó tạo ra nghiệm cơ bản, từ đó mọi nghiệm khác được tạo ra bằng cách hợp thành lặp lại.