Nhóm cơ bản và Không gian phủ

Nhóm cơ bản ghi lại cách các vòng lặp trong một không gian có thể và không thể co lại, và lý thuyết không gian phủ chuyển đổi các nhóm con của nó thành một từ điển hình học hoàn chỉnh về các không gian bao quanh không gian ban đầu.

Definition

Nhóm cơ bản của một không gian có điểm gốc là nhóm mà các phần tử của nó là các lớp đồng luân của các vòng lặp dựa trên điểm đó, với phép nối là phép toán; một không gian phủ là một ánh xạ mà tại mỗi điểm cục bộ là một chồng tầm thường của các bản sao của không gian cơ sở, và lý thuyết của nó liên hệ các ánh xạ như vậy với các nhóm con của nhóm cơ bản.

Scope

Chủ đề này giới thiệu đồng luân của các đường đi, nhóm cơ bản như là nhóm các lớp vòng lặp dựa trên một điểm, và cách tính toán nó thông qua định lý van Kampen. Nó phát triển các không gian phủ, tiêu chí nâng, và sự tương ứng giống Galois giữa các nhóm con của nhóm cơ bản và các phủ liên thông, bao gồm phủ phổ quát và các phép biến đổi sàn. Các ứng dụng như phân loại các phủ của đường tròn và tính toán các nhóm cơ bản của đồ thị và bề mặt cũng được đề cập.

Core questions

• Nhóm cơ bản phát hiện các lỗ hổng ngăn cản các vòng lặp co lại như thế nào?
• Định lý van Kampen xây dựng nhóm cơ bản của một không gian từ các phần chồng lấn như thế nào?
• Sự tương ứng chính xác giữa các không gian phủ liên thông và các nhóm con của nhóm cơ bản là gì?
• Khi nào một ánh xạ nâng qua một phủ, và phủ phổ quát đóng vai trò gì?

Key concepts

• Đồng luân của các đường đi và phép nối vòng lặp
• Nhóm cơ bản và tính chất hàm tử của nó dưới các ánh xạ bảo toàn điểm gốc
• Định lý van Kampen
• Các không gian phủ, tiêu chí nâng, và các phép biến đổi sàn
• Phủ phổ quát và sự tương ứng Galois cho các phủ

Clinical relevance

Nhóm cơ bản là bất biến đại số đầu tiên và dễ tiếp cận nhất, phân biệt đường tròn với đĩa và là nền tảng của đơn đạo, lý thuyết các mặt Riemann, và phân loại các bó phẳng; lý thuyết không gian phủ là mô hình tô pô cho lý thuyết Galois và cho các thương bởi các tác động nhóm.

History

Poincaré đã giới thiệu nhóm cơ bản trong Analysis Situs (1895); định lý Seifert-van Kampen của những năm 1930 đã giúp nó có thể tính toán được bằng cách ghép nối, và sự tương ứng có hệ thống giữa các phủ và các nhóm con, được hình thức hóa thông qua các phép biến đổi sàn, đã thiết lập sự tương tự với lý thuyết Galois hiện nay là tiêu chuẩn trong chương trình giảng dạy.

Key figures

• Henri Poincaré
• Egbert van Kampen
• Allen Hatcher

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Tại sao nhóm cơ bản của đường tròn lại là các số nguyên?

Một vòng lặp trên đường tròn được phân loại theo đồng luân bởi số lần nó quấn quanh, với dấu cho hướng; số quấn này có tính cộng dưới phép nối, tạo ra một đẳng cấu với các số nguyên.

Phủ phổ quát là gì?

Nó là không gian phủ đơn liên của một không gian (thích hợp); nó tương ứng với nhóm con tầm thường trong từ điển không gian phủ và mang nhóm cơ bản như là nhóm các phép biến đổi sàn của nó.