Không gian tô-pô và Tính liên tục

Một không gian tô-pô mã hóa các điểm gần nhau thông qua một tập hợp các tập mở, và một ánh xạ liên tục là ánh xạ tôn trọng sự gần gũi này — kéo các tập mở trở lại thành các tập mở.

Definition

Một không gian tô-pô là một tập hợp X cùng với một tô-pô — một họ các tập con mở đóng dưới các hợp tùy ý và giao hữu hạn, đồng thời chứa tập rỗng và X; một hàm giữa các không gian tô-pô là liên tục nếu ảnh ngược của mọi tập mở là mở, và một phép đồng phôi là một song ánh liên tục có nghịch đảo liên tục.

Scope

Chủ đề này định nghĩa các không gian tô-pô thông qua các tiên đề tập mở và các ngôn ngữ tương đương của tập đóng, lân cận, bao đóng và phần trong. Nó phát triển các cơ sở và cơ sở con như những cách tiết kiệm để xác định một tô-pô, các tô-pô con, tô-pô tích và tô-pô thương, cùng với các khái niệm trung tâm về tính liên tục, phép đồng phôi và bất biến tô-pô. Nó đề cập đến sự hội tụ của các dãy và lưới khi trực giác metric không còn phù hợp.

Core questions

• Làm thế nào cùng một tô-pô có thể phát sinh từ các cơ sở khác nhau, và làm thế nào chúng ta so sánh các tô-pô theo độ mịn?
• Tính liên tục có nghĩa là gì khi không có metric, và nó được đặc trưng như thế nào thông qua các bao đóng và lân cận?
• Khi nào hai không gian là đồng phôi, và những tính chất nào đóng vai trò là bất biến để phân biệt chúng?
• Các cấu trúc không gian con, tích và thương kế thừa hay không kế thừa các tính chất của tô-pô cha như thế nào?

Key concepts

• Tập mở, tập đóng, lân cận, bao đóng và phần trong
• Cơ sở và cơ sở con tạo ra một tô-pô
• Tính liên tục, phép đồng phôi và bất biến tô-pô
• Tô-pô con, tô-pô tích và tô-pô thương
• Hội tụ thông qua các dãy và lưới; vai trò của tính đếm được bậc nhất

Clinical relevance

Những định nghĩa này là điểm khởi đầu cho mọi cấu trúc sau này trong hình học và tô-pô: đa tạp là các không gian tô-pô địa phương Euclid, đồng luân và đồng điều tác động lên các ánh xạ liên tục, và giải tích trên các không gian dựa trên khái niệm liên tục này.

History

Định nghĩa tập mở đã tổng quát hóa các không gian metric của Fréchet (1906) và các tiên đề lân cận của Hausdorff (1914); công thức chuẩn hiện nay về các hợp tùy ý và giao hữu hạn đã trở thành chuẩn mực trong sách giáo khoa thông qua Bourbaki và các văn bản của Mỹ giữa thế kỷ.

Key figures

• Felix Hausdorff
• Maurice Fréchet
• James Munkres

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

Mọi song ánh liên tục có phải là một phép đồng phôi không?

Không. Một song ánh liên tục có thể không có nghịch đảo liên tục; một phép đồng phôi yêu cầu thêm nghịch đảo phải liên tục, điều này làm cho nó trở thành một đẳng cấu của các không gian tô-pô.

Tại sao lưới tổng quát hóa các dãy trong tô-pô?

Trong các không gian không đếm được bậc nhất, các dãy không thể phát hiện tất cả các hành vi bao đóng và liên tục; lưới (và tương đương là bộ lọc) lập chỉ mục sự hội tụ trên các tập hợp có hướng tùy ý và khôi phục lý thuyết đầy đủ.