Toán tử sinh và hủy

Các toán tử sinh và hủy thêm hoặc loại bỏ một hạt trong một trạng thái nhất định của một hệ nhiều hạt; tuân theo các quan hệ giao hoán cho boson và quan hệ phản giao hoán cho fermion, chúng là những khối xây dựng cơ bản của lượng tử hóa thứ cấp.

Definition

Các toán tử sinh và hủy là các toán tử lần lượt thêm hoặc loại bỏ một hạt trong một trạng thái một hạt được chỉ định của không gian Fock, thỏa mãn các quan hệ giao hoán cho boson và quan hệ phản giao hoán cho fermion, từ đó tất cả các đại lượng quan sát được của hệ nhiều hạt được xây dựng.

Scope

Chủ đề này bao gồm định nghĩa các toán tử sinh và hủy trên không gian Fock, các quan hệ giao hoán boson và quan hệ phản giao hoán fermion để đảm bảo thống kê chính xác, toán tử số hạt được xây dựng từ chúng, cách xây dựng bất kỳ trạng thái Fock nào từ trạng thái chân không, biểu thức của các toán tử một hạt và hai hạt cũng như Hamiltonian dưới dạng lượng tử hóa thứ cấp, và các toán tử trường như là sự tổng quát hóa chế độ liên tục của chúng.

Core questions

• Các toán tử sinh và hủy tác động lên các trạng thái Fock như thế nào?
• Tại sao boson yêu cầu quan hệ giao hoán và fermion yêu cầu quan hệ phản giao hoán?
• Các đại lượng quan sát vật lý và Hamiltonian được biểu diễn bằng các toán tử này như thế nào?
• Các toán tử trường tổng quát hóa chúng thành các trạng thái liên tục như thế nào?

Key concepts

• toán tử sinh
• toán tử hủy
• quan hệ giao hoán
• quan hệ phản giao hoán
• toán tử số hạt
• toán tử trường

Key theories

Đại số của các toán tử sinh và hủy

Một toán tử sinh làm tăng số chiếm của một trạng thái và một toán tử hủy làm giảm nó; các toán tử boson thỏa mãn các quan hệ giao hoán cho phép chiếm giữ không giới hạn, trong khi các toán tử fermion thỏa mãn các quan hệ phản giao hoán để thực thi nguyên lý loại trừ bằng cách bình phương bằng không.

Các toán tử và trường lượng tử hóa thứ cấp

Các đại lượng quan sát một hạt và hai hạt, và toàn bộ Hamiltonian, được viết dưới dạng tổng của các toán tử sinh và hủy được trọng số bởi các phần tử ma trận, và việc kết hợp chúng thành các toán tử trường tạo ra công thức liên tục làm nền tảng cho lý thuyết trường lượng tử.

Clinical relevance

Các toán tử sinh và hủy là công cụ hàng ngày của vật lý lượng tử hiện đại: chúng mô tả photon trong quang học lượng tử, phonon và kích thích điện tử trong vật chất ngưng tụ, và sự tạo hạt trong lý thuyết trường lượng tử, đồng thời chúng làm cho các Hamiltonian nhiều hạt đủ gọn để phân tích và tính toán.

History

Dirac đã giới thiệu các toán tử sinh và hủy trong việc lượng tử hóa trường điện từ vào năm 1927, và Jordan cùng Wigner đã phát triển các toán tử phản giao hoán cho fermion vào năm 1928, thiết lập hình thức lượng tử hóa thứ cấp đã trở thành ngôn ngữ của lý thuyết trường lượng tử.

Key figures

• Paul Dirac
• Pascual Jordan
• Eugene Wigner
• Vladimir Fock

Seminal works

• fetterwalecka2003
• sakurai2017

Frequently asked questions

Các toán tử sinh và hủy liên quan đến dao động tử điều hòa như thế nào?

Chúng là các toán tử bậc thang đại số tương tự bước giữa các mức năng lượng của dao động tử, được diễn giải lại là thêm hoặc loại bỏ các lượng tử kích thích; một trường lượng tử hóa về cơ bản là một tập hợp các dao động tử, mỗi dao động tử cho một trạng thái, với các toán tử này tạo ra và hủy các hạt của nó.

Tại sao các toán tử fermion phải phản giao hoán?

Phản giao hoán làm cho bình phương của một toán tử sinh bằng không, do đó không trạng thái nào có thể chứa hai fermion giống hệt nhau, tự động thực thi nguyên lý loại trừ Pauli và tính phản đối xứng của các trạng thái fermion mà không cần bất kỳ sự phản đối xứng rõ ràng nào.