Nghịch lý tập hợp và Lý thuyết kiểu

Tập hợp tất cả các tập hợp không chứa chính nó vừa chứa vừa không chứa chính nó — nghịch lý Russell đã lật đổ lý thuyết tập hợp ngây thơ và định hình lại nền tảng của logic học.

Definition

Các nghịch lý tập hợp là những mâu thuẫn có thể suy ra trong lý thuyết tập hợp ngây thơ từ nguyên lý hiểu biết không hạn chế rằng mọi điều kiện đều định nghĩa một tập hợp; lý thuyết kiểu ngăn chặn chúng bằng cách sắp xếp các thực thể thành một hệ thống phân cấp các kiểu và cấm một tập hợp tự thuộc về chính nó.

Scope

Chủ đề này bao gồm các nghịch lý logic và lý thuyết tập hợp cùng với những phản ứng nền tảng mà chúng gây ra. Nó đề cập đến nghịch lý Russell về tập hợp tất cả các tập hợp không tự chứa, nghịch lý Burali-Forti về số thứ tự lớn nhất, và nghịch lý Cantor về tập hợp phổ quát; chẩn đoán của Russell thông qua nguyên lý vòng luẩn quẩn và lý thuyết kiểu phân nhánh trong Principia Mathematica; và phản ứng thay thế của lý thuyết tập hợp tiên đề (Zermelo-Fraenkel) nhằm hạn chế sự hiểu biết để tránh các nghịch lý.

Core questions

• Giả định nào trong lý thuyết tập hợp ngây thơ tạo ra nghịch lý Russell?
• Việc tránh các nghịch lý có đòi hỏi nguyên lý vòng luẩn quẩn và các hạn chế về kiểu không?
• Lý thuyết kiểu và lý thuyết tập hợp tiên đề khác nhau như thế nào trong vai trò là các phản ứng?
• Các nghịch lý logic về cơ bản có giống với các nghịch lý ngữ nghĩa không?

Key concepts

• hiểu biết không hạn chế
• nghịch lý Russell
• nghịch lý Burali-Forti và Cantor
• nguyên lý vòng luẩn quẩn
• lý thuyết kiểu
• tiên đề phân tách

Key theories

Lý thuyết kiểu phân nhánh

Russell ngăn chặn các nghịch lý bằng nguyên lý vòng luẩn quẩn và một hệ thống phân cấp các kiểu, trong đó một thực thể chỉ có thể được định nghĩa dựa trên các thực thể ở cấp thấp hơn trong hệ thống phân cấp, ngăn chặn việc tự thuộc về và các định nghĩa tự áp dụng.

Hiểu biết hạn chế

Lý thuyết tập hợp tiên đề (Zermelo-Fraenkel) từ bỏ sự hiểu biết không hạn chế để thay bằng phân tách và thay thế, do đó không thể hình thành tập hợp tất cả các tập hợp không tự chứa, giải quyết nghịch lý Russell mà không cần hệ thống phân cấp kiểu.

History

Russell đã phát hiện ra nghịch lý của mình vào năm 1901 khi nghiên cứu chủ nghĩa logic của Frege, làm suy yếu Định luật cơ bản V của Frege. Lý thuyết kiểu năm 1908 của Russell và Principia Mathematica năm 1910 đã đưa ra một cách giải quyết; sự tiên đề hóa năm 1908 của Zermelo, sau này được Fraenkel mở rộng, đã đưa ra một cách giải quyết khác, và hai cách tiếp cận này là nền tảng của các nền tảng hiện đại và lý thuyết kiểu đơn giản được sử dụng trong logic và khoa học máy tính.

Debates

Kiểu so với lý thuyết tập hợp tiên đề

Liệu các nghịch lý được tránh tốt nhất bằng một hệ thống phân cấp kiểu dựa trên nguyên lý vòng luẩn quẩn hay bằng cách hạn chế các tiên đề tồn tại tập hợp, và mỗi cách tiếp cận ngụ ý gì về bản chất của các tập hợp, lớp và các định nghĩa tiên đoán so với không tiên đoán.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

Nghịch lý Russell là gì theo cách nói đơn giản?

Hãy xem xét tập hợp R của tất cả các tập hợp không phải là thành viên của chính chúng. Hãy hỏi liệu R có phải là thành viên của chính nó hay không. Nếu có, thì theo định nghĩa của chính nó, nó không nên là; nếu không, thì nó đủ điều kiện và nên là. Cả hai câu trả lời đều mâu thuẫn với nhau, điều này cho thấy giả định của lý thuyết tập hợp ngây thơ rằng bất kỳ thuộc tính nào cũng định nghĩa một tập hợp là sai.