Topolojik Uzaylar ve Süreklilik
Bir topolojik uzay, açık kümeler ailesi aracılığıyla hangi noktaların diğerlerine yakın olduğunu kodlamaktadır; sürekli bir dönüşüm ise bu yakınlığı koruyarak açık kümeleri açık kümelere geri çeken bir yapıdır.
Tanım
Bir topolojik uzay, boş kümeyi ve X'i içeren, keyfi birleşimler ve sonlu kesişimler altında kapalı olan bir açık alt kümeler ailesi (topoloji) ile birlikte bir X kümesidir. Topolojik uzaylar arasındaki bir fonksiyon, her açık kümenin ters görüntüsü açık ise sürekli olarak tanımlanır ve bir homeomorfizm, sürekli tersi olan sürekli bir bijeksiyondur.
Kapsam
Bu konu, topolojik uzayları açık küme aksiyomları ve kapalı kümeler, komşuluklar, kapanış ve iç (interior) gibi eşdeğer diller aracılığıyla tanımlamaktadır. Bir topolojiyi belirtmenin ekonomik yolları olarak bazlar ve altbazlar, altuzay, çarpım ve bölüm topolojileri ile süreklilik, homeomorfizm ve topolojik değişmezler gibi merkezi kavramlar geliştirilmektedir. Metrik sezginin yetersiz kaldığı durumlarda dizilerin ve netlerin yakınsaması da incelenmektedir.
Temel sorular
- Aynı topoloji farklı bazlardan nasıl ortaya çıkabilir ve topolojileri inceliklerine göre nasıl karşılaştırırız?
- Metrik mevcut olmadığında süreklilik ne anlama gelmektedir ve kapanışlar ile komşuluklar aracılığıyla nasıl karakterize edilir?
- İki uzay ne zaman homeomorfiktir ve onları ayırt etmek için hangi özellikler değişmez olarak hizmet etmektedir?
- Altuzay, çarpım ve bölüm yapıları, ana topolojinin özelliklerini nasıl miras alır veya miras alamaz?
Anahtar kavramlar
- Açık kümeler, kapalı kümeler, komşuluklar, kapanış ve iç (interior)
- Bir topolojiyi üreten baz ve altbaz
- Süreklilik, homeomorfizm ve topolojik değişmezler
- Altuzay, çarpım ve bölüm topolojileri
- Diziler ve netler aracılığıyla yakınsama; birinci sayılabilirlik (first countability) rolü
Klinik önem
Bu tanımlar, geometri ve topolojideki sonraki her yapının başlangıç noktasını oluşturmaktadır: manifoldlar yerel olarak Öklid topolojik uzaylarıdır, homotopi ve homoloji sürekli dönüşümler üzerinde etki etmektedir ve uzaylar üzerindeki analiz bu süreklilik kavramına dayanmaktadır.
Tarihçe
Açık küme tanımı, Fréchet'nin metrik uzaylarını (1906) ve Hausdorff'un komşuluk aksiyomlarını (1914) genelleştirmiştir. Keyfi birleşimler ve sonlu kesişimler açısından günümüzde standart olan formülasyon ise Bourbaki ve yüzyıl ortası Amerikan metinleri aracılığıyla ders kitabı normu haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Felix Hausdorff
- Maurice Fréchet
- James Munkres
İlgili konular
Temel eserler
- munkres2000
- kelley1955
Sıkça sorulan sorular
- Her sürekli bijeksiyon bir homeomorfizm midir?
- Hayır. Sürekli bir bijeksiyonun sürekli bir tersi olmayabilir; bir homeomorfizm ek olarak tersinin de sürekli olmasını gerektirir, bu da onu topolojik uzayların bir izomorfizmi yapmaktadır.
- Topolojide netler neden dizileri genelleştirir?
- Birinci sayılabilir (first countable) olmayan uzaylarda, diziler tüm kapanış ve süreklilik davranışlarını tespit edemez; netler (ve eşdeğer olarak filtreler) keyfi yönlendirilmiş kümeler üzerinde yakınsamayı indeksler ve tam teoriyi geri kazandırmaktadır.