Bağlantılılık
Bağlantılılık, bir uzayın tek bir bütün olduğu — iki ayrık, boş olmayan açık parçaya ayrılamayacağı — fikrini ifade etmekte ve ara değer teoreminin geçerli olmasının topolojik nedenini oluşturmaktadır.
Tanım
Bir topolojik uzay, iki ayrık, boş olmayan açık kümenin birleşimi olarak yazılamıyorsa bağlantılıdır; herhangi iki noktası sürekli bir yol ile birleştirilebiliyorsa yol bağlantılıdır.
Kapsam
Bu konu, bağlantılılığı ve bununla ilişkili, daha güçlü bir kavram olan yol bağlantılılığını, ayrıca bunların yerel versiyonlarını (yerel bağlantılılık, yerel yol bağlantılılığı) tanımlamaktadır. Bağlantılı bileşenleri ve yol bileşenlerini, sürekli görüntüler, çarpımlar ve birleşimler altındaki bağlantılılığın davranışını ve bağlantılı ile yol bağlantılı kavramlarının ayrıştığı topolog sinüs eğrisi gibi standart ayırıcı örnekleri kapsamaktadır. Ara değer teoreminin bağlantılı uzaylara genellemesi de dahil edilmektedir.
Temel sorular
- Bağlantılılık ve yol bağlantılılık arasındaki kesin fark nedir ve ne zaman çakışırlar?
- Bağlantılı bileşenler keyfi bir uzayı nasıl bölümlere ayırır ve neden kapalıdırlar?
- Bağlantılı bir uzayın sürekli görüntüsü neden bağlantılıdır ve bu durum ara değer teoremini nasıl genellemektedir?
- Yerel bağlantılılık ve yerel yol bağlantılılık, bileşenlerin yapısını nasıl kontrol etmektedir?
Anahtar kavramlar
- Bağlantılı ve bağlantısız uzaylar
- Yol bağlantılılık ve yol bileşenleri
- Bağlantılı bileşenler ve yarı-bileşenler (quasi-components)
- Yerel bağlantılılık ve yerel yol bağlantılılık
- Bağlantılılık ifadesi olarak ara değer teoremi
Klinik önem
Bağlantılılık, bir uzayın parçalarını saymak için temel oluşturmakta ve homotopi ile homolojinin sıfır dereceli gölgesidir; yol bağlantılılık ise, iyi tanımlanmış bir temel grup için ön koşul olup, genel topolojiyi cebirsel topolojiye bağlamaktadır.
Tarihçe
Bir uzayın tek parça olduğu sezgisel fikir, 20. yüzyılın başlarında topolojik uzayların aksiyomatizasyonu ile birlikte kesinleştirilmiştir; topolog sinüs eğrisi gibi örneklerle gösterilen bağlantılılığın yol bağlantılılıktan dikkatli ayrımı, nokta-küme müfredatının standart bir parçası haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Camille Jordan
- Felix Hausdorff
- James Munkres
İlgili konular
Temel eserler
- munkres2000
- kelley1955
Sıkça sorulan sorular
- Bağlantılı olmak yol bağlantılı olmayı gerektirir mi?
- Hayır. Topolog sinüs eğrisi bağlantılıdır ancak yol bağlantılı değildir. Tersi geçerlidir: her yol bağlantılı uzay bağlantılıdır.
- Bağlantılı ve yol bağlantılı bileşenler ne zaman aynıdır?
- Yerel yol bağlantılı bir uzayda, bağlantılı bileşenler ve yol bileşenleri çakışmakta ve açıktır; bu nedenle manifoldlar ve Öklid uzayının açık alt kümeleri bu kadar basit davranmaktadır.