p-adik Sayılar
p-adik sayılar, her asal p için rasyonel sayıların alternatif bir tamamlanmasını oluşturur; bu tamamlanmada yakınlık, büyüklükten ziyade bölünebilirlik ile ölçülmektedir. Bu sayılar, sayı teorisini yerelleştirmekte ve gerçel sayıların gizlediği aritmetiği ortaya koymaktadır.
Tanım
Bir asal p için p-adik sayılar, bir sayının p'nin yüksek bir kuvvetiyle bölünebildiğinde küçük olduğu p-adik mutlak değere göre rasyonel sayıların tamamlanmasıdır; bu sayılar, prototipik bir yerel cisim oluşturan bir cisim meydana getirmektedir.
Kapsam
Bu alan, p-adik mutlak değeri ve rasyonel sayıların bir tamamlanması olarak p-adik sayıların inşasını, p-adik cisimlerin ve daha genel yerel cisimlerin yapısını, yakınsaklık dahil p-adik analizi, p-adik üstel ve logaritmik fonksiyonları, Hensel lemmasını ve bir denklemin rasyonel sayılar üzerindeki çözümünün tüm gerçel ve p-adik tamamlanmaları aracılığıyla incelendiği yerel-küresel prensibi kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- p-adik mutlak değer mesafeyi nasıl yeniden tanımlar ve rasyonel sayıların tamamlanması p-adik cismi nasıl üretir?
- p-adik cisimlerin ve genel yerel cisimlerin cebirsel ve topolojik yapısı nasıldır?
- Analiz p-adik olarak nasıl işler ve Hensel lemmasını kullanarak neleri çözebiliriz?
- Yerel-küresel prensip, rasyonel çözülebilirliği gerçel sayılar ve tüm p-adik cisimler üzerindeki çözülebilirlikle nasıl ilişkilendirir?
Temel kuramlar
- p-adik tamamlanma ve Ostrowski teoremi
- Ostrowski teoremi, rasyonel sayılar üzerindeki tüm mutlak değerleri olağan mutlak değer ve p-adik mutlak değerler olarak sınıflandırmaktadır; her birine göre tamamlanma, gerçel sayıları ve sıfır karakteristiğe sahip yerel cisimler olan p-adik cisimleri vermektedir.
- Hensel lemması
- p modülüne göre basit bir köke sahip bir polinomun, bu köke indirgenen tek bir p-adik kökü bulunmaktadır; bu nedenle, denklemleri p-adik olarak çözmek, onları p modülüne göre çözmeye ve kaldırmaya indirgenmektedir, bu da bir p-adik Newton yöntemidir.
- Yerel-küresel (Hasse) prensibi
- Birçok denklem için, özellikle kuadratik formlar için, rasyonel sayılar üzerindeki çözülebilirlik, gerçel sayılar ve her p-adik cisim üzerindeki çözülebilirlik ile eşdeğerdir ve küresel problemleri yerel problemlere odaklamaktadır.
Klinik önem
Yerel cisimler ve p-adik yöntemler, modern aritmetik geometri ve Langlands programında vazgeçilmezdir; p-adik L-fonksiyonları ve Galois temsilleri, hesaplamalı çalışmaları eliptik eğri kriptografisini destekleyen (Birch-Swinnerton-Dyer gibi) varsayımlara da ışık tutmaktadır.
Tarihçe
Hensel, p-adik sayıları 1897 civarında fonksiyon cisimlerindeki kuvvet serileriyle bir benzetme yaparak tanıtmıştır. Hasse, 1920'lerde yerel-küresel prensibi geliştirmiş ve p-adik bakış açısı, Tate, Iwasawa ve diğerlerinin yerel cisimler, p-adik L-fonksiyonları ve aritmetik geometri üzerine çalışmalarıyla merkezi bir konuma gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Kurt Hensel
- Helmut Hasse
- Jean-Pierre Serre
İlgili konular
Temel eserler
- serre1973
- koblitz1984
Sıkça sorulan sorular
- İki sayı hangi anlamda p-adik olarak birbirine yakındır?
- İki tam sayı, farkları asal p'nin yüksek bir kuvvetiyle bölünebildiğinde p-adik olarak birbirine yakındır; bu nedenle, örneğin, p'nin büyük kuvvetleri, sıradan sezginin aksine p-adik olarak sıfıra yakındır.
- p-adik sayılar neden tanıtılmıştır?
- Bu sayılar, aritmetiği tek bir asal sayıya göre yerelleştirerek birçok problemi çözülebilir hale getirmektedir: denklemler birer birer incelenebilmekte ve yerel-küresel prensip bu yerel çözümleri küresel sonuçlara dönüştürmektedir.