p-adik Alanlar ve Yerel Alanlar
p-adik alan, rasyonel sayıların p-adik mutlak değerine göre tamamlanmasıyla inşa edilmektedir; p-adik tam sayılar halkası, kalıntı alanı ve üniformlaştırıcısı, onu yerel bir alanın model örneği, tek bir asal sayıdaki aritmetiğin doğal yuvası haline getirmektedir.
Tanım
Bir rasyonel sayının p-adik mutlak değeri, onu bölen p'nin kuvvetiyle belirlenmektedir. p-adik sayılar alanı, bu mutlak değer altında rasyonel sayıların tamamlanmasıdır; yerel bir alan, ayrık bir değerlemeye göre tam olan ve sonlu bir kalıntı alanına sahip olan bir alandır.
Kapsam
Bu konu, p-adik değerleme ve mutlak değer, ultrametrik eşitsizlik, Ostrowski'nin rasyonel sayılar üzerindeki mutlak değerlerin sınıflandırması, p-adik sayıların ve p-adik tam sayılar halkasının inşası, maksimal ideal, kalıntı alanı ve üniformlaştırıcı, elemanların p-adik basamak açılımlarıyla tanımlanması, kökleri yükseltmek için Hensel leması ve sonlu kalıntı alanına sahip tam ayrık değerli bir alan olarak yerel bir alanın genel kavramını kapsamaktadır.
Temel sorular
- p-adik mutlak değer nasıl tanımlanır ve neden güçlü ultrametrik eşitsizliği sağlar?
- Ostrowski teoremi neden bunların, olağan olanın dışında, rasyonel sayılar üzerindeki esasen tek mutlak değerler olduğunu belirtir?
- p-adik tam sayılar nelerdir ve basamak açılımları ile kalıntı alanı onların yapısını nasıl tanımlar?
- Hensel leması, çözümleri kalıntı alanından tam yerel alana nasıl yükseltir?
Temel kuramlar
- Ostrowski teoremi ve tamamlamalar
- Rasyonel sayılar üzerindeki her önemsiz olmayan mutlak değer, olağan mutlak değere veya bir p-adik mutlak değere eşdeğerdir; her birinin altında tamamlamak, gerçel sayıları veya bir p-adik alanı verir ve rasyonel sayıların tüm yerlerini sergiler.
- p-adik tam sayıların yapısı
- p-adik tam sayılar, p tarafından üretilen maksimal ideale ve p modülündeki tam sayılar olan kalıntı alanına sahip kompakt bir yerel halka oluşturmaktadır; her p-adik sayı, sağa doğru potansiyel olarak sonsuz benzersiz bir taban-p açılımına sahiptir.
- Hensel leması
- Bir polinomun p modülündeki basit bir kökü, p-adik tam sayılarda benzersiz bir köke yükselir; bu durum, yerel alanı kalıntı alanının cebirsel olarak uygun bir genişlemesi gibi davranmasını sağlar.
Klinik önem
Yerel alanlar, yerel sınıf cisim teorisi ve Langlands programındaki otomorfik gösterimlerin yerel bileşenleri için bir zemin oluşturmaktadır; Hensel yükseltmesi aynı zamanda polinom çarpanlara ayırmada ve asal kuvvetlere göre hızlı hesaplamada algoritmik bir araç olarak kullanılmaktadır.
Tarihçe
Hensel, 1897'de kuvvet serisi tekniklerini sayı teorisine aktarmak amacıyla p-adik sayıları tanıtmış ve kendi adını taşıyan yükseltme lemasını kanıtlamıştır. Ostrowski, 1916'da rasyonel sayılar üzerindeki mutlak değerleri sınıflandırmış, gerçek ve p-adik tamamlamaların olasılıkları tükettiğini açıklığa kavuşturarak yerel bakış açısını temellendirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Kurt Hensel
- Alexander Ostrowski
- Helmut Hasse
İlgili konular
Temel eserler
- serre1973
- koblitz1984
Sıkça sorulan sorular
- Üniformlaştırıcı nedir?
- Yerel bir alanın değerleme halkasının maksimal idealinin bir üretecidir; p-adik sayılar için asal p'nin kendisi bir üniformlaştırıcı görevi görür ve her sıfır olmayan eleman, onun bir kuvveti çarpı bir birimdir.
- p-adik tam sayılar neden kompakttır?
- Onlar, p'nin kuvvetleri modülündeki sonlu tam sayılar halkalarının ters limitidir, bu da onları p-adik metrikte kapalı ve sınırlı bir küme haline getirir ve dolayısıyla sıradan tam sayıların aksine kompakt olmalarını sağlar.