Sayı Cisimleri ve Tam Sayı Halkaları
Bir sayı cismi, rasyonel sayıların sonlu bir genişlemesidir ve tam sayı halkası, sıradan tam sayıların doğal aritmetik analoğudur — bu, elemanların değil, ideallerin tek bir şekilde çarpanlarına ayrıldığı bir Dedekind bölgesidir.
Tanım
Bir sayı cismi, rasyonel sayıların sonlu dereceli bir cisim genişlemesidir; tam sayı halkası, tam sayı katsayılı monik polinomların kökleri olan elemanlardan oluşur ve bir Dedekind bölgesi oluşturur.
Kapsam
Bu konu, cebirsel sayıları ve cebirsel tam sayıları, sayı cisimlerini ve bunların derecelerini ve gömülmelerini, tam sayıların cisimdeki tam kapanışı olarak tam sayı halkasını, tam tabanları ve cisim diskriminantını, tam sayı halkalarının Dedekind bölgeleri olarak karakterizasyonunu ve sıfır olmayan ideallerin asal ideallere tek bir şekilde çarpanlara ayrılmasını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir sayı cisminin hangi elemanları tam sayı olarak kabul edilir ve neden bir halka oluştururlar?
- Tam taban nedir ve bir sayı cisminin diskriminantı nasıl tanımlanır ve hesaplanır?
- Hangi özellikler tam sayı halkasını bir Dedekind bölgesi yapar?
- İdeallerin tek bir şekilde çarpanlara ayrılması, elemanların tek bir şekilde çarpanlara ayrılmasının yerini nasıl alır?
Temel kuramlar
- Tam Sayı Halkası ve Tam Kapanış
- Bir sayı cismindeki cebirsel tam sayılar, cisimdeki tam sayıların tam kapanışı olan tam sayı halkasını oluşturur; bu, cisim derecesine eşit ranka sahip, tam tabanlı bir serbest modüldür.
- Dedekind Bölgeleri ve İdeallerin Çarpanlara Ayrılması
- Tam sayı halkaları Noetheryen, tam kapalı, tek boyutlu — yani Dedekind bölgeleridir — ve herhangi bir Dedekind bölgesinde her sıfır olmayan ideal, asal ideallere tek bir şekilde çarpanlara ayrılır.
- Diskriminant
- Bir tam tabanın diskriminantı, cismin dallanmış asallarını tespit eden ve cismi Minkowski sınırı ve Hermite'nin sonluluk teoremi aracılığıyla kısıtlayan bir tam sayı değişmezidir.
Klinik önem
Tam sayı halkaları ve bunların ideal yapısı, sayı cismi elek çarpanlara ayırma algoritması ve ideal-kafes kriptografisi için bir zemin oluşturmaktadır; burada bir tam sayı halkasının aritmetiği hem zor problemlerin hem de verimli işlemlerin kaynağıdır.
Tarihçe
Kummer, 1840'larda siklotomik tam sayılar ve ideal sayılar üzerine çalışmıştır. Dedekind, 1870'lerde Dirichlet'nin derslerine ek olarak, tam sayı halkasını ve idealin modern kavramını tanımlamış, ideallerin tek bir şekilde çarpanlara ayrıldığını kanıtlamış ve soyut kuramın temellerini atmıştır.
Öne çıkan isimler
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Ernst Kummer
İlgili konular
Temel eserler
- marcus2018
Sıkça sorulan sorular
- Tam sayı halkası her zaman tek bir şekilde çarpanlara ayrılabilen bir bölge midir?
- Hayır. Elemanların tek bir şekilde çarpanlara ayrılması gerekmez, ancak halka her zaman bir Dedekind bölgesidir, bu nedenle idealler tek bir şekilde çarpanlara ayrılır; halka, sınıf sayısı bir olduğunda tam olarak tek bir şekilde çarpanlara ayrılabilen bir bölgedir.
- Diskriminant neyi ifade eder?
- Cisim diskriminantı, asal bölenleri cisimde dallanan asallar olan bir tam sayı değişmezidir ve boyutu, cismin ne kadar karmaşık olabileceğini sınırlar.