Markov Zinciri Sınıflandırması ve Tekrarlılık
Bir Markov zincirinin durumlarını sınıflandırmak, hangi durumların sonsuz kez ziyaret edildiğini ve hangilerinin sonunda terk edildiğini ortaya koyarak, durum uzayını ortak uzun vadeli davranışa sahip iletişim kuran sınıflara ayırmaktadır.
Tanım
Durum sınıflandırması, bir Markov zincirini, birbirine ulaşabilen durumları iletişim kuran sınıflar halinde gruplandırarak ve zincirin kendisine bir olasılıkla geri dönmesi durumunda her durumu tekrarlayan (recurrent) olarak, veya asla geri dönmeme olasılığı pozitif ise geçici (transient) olarak etiketleyerek analiz etmektedir.
Kapsam
Bu konu, erişilebilirlik ve iletişim ilişkilerini, durum uzayının iletişim kuran sınıflara ayrıştırılmasını, indirgenemezliği, tekrarlılık-geçicilik ikilemini ve kriterlerini, pozitif tekrarlılık ve sıfır tekrarlılığı, periyodikliği ve bu özelliklerin belirlenmesinde ilk geçiş ve isabet olasılıklarının kullanımını kapsamaktadır.
Temel sorular
- İki durum ne zaman iletişim kurar ve bu durum uzayını nasıl böler?
- Tekrarlayan bir durumu geçici olandan ayıran nedir?
- Pozitif tekrarlılık sıfır tekrarlılıktan nasıl ayrılır?
- Periyodiklik, zincirin uzun vadeli davranışında hangi rolü oynamaktadır?
Temel kuramlar
- Tekrarlılık-Geçicilik İkilemi
- Bir durum, ancak ve ancak beklenen geri dönüş sayısı sonsuz ise tekrarlayıcıdır; eşdeğer olarak, geri dönüş olasılıklarının toplamı ıraksar. Tekrarlılık ve geçicilik, iletişim kuran tüm durumlar tarafından paylaşılan sınıf özellikleridir.
- Pozitif Tekrarlılık ve Sıfır Tekrarlılık
- Tekrarlayan bir durum, beklenen geri dönüş süresi sonlu olduğunda pozitif tekrarlayıcıdır ve sonsuz olduğunda sıfır tekrarlayıcıdır; pozitif tekrarlılık, durağan bir olasılık dağılımının varlığı için gereklidir.
Klinik önem
Tekrarlılığın belirlenmesi, rastgele bir yürüyüşün başlangıç noktasına dönüp dönmediğini, bir kuyruğun sonsuz kez boşalıp boşalmadığını ve bir popülasyon sürecinin devam edip etmediğini veya absorbe olup olmadığını netleştirmektedir; Polya'nın basit simetrik rastgele yürüyüşün bir ve iki boyutta tekrarlayıcı, ancak üç veya daha fazla boyutta geçici olduğuna dair klasik sonucu, bunun kanonik bir sonucudur.
Tarihçe
Tekrarlılık sorunu, Polya'nın 1921'deki tam sayı kafesleri üzerindeki rastgele yürüyüşler analizleriyle netleşmiştir ve tekrarlılık ile geçiciliğin sistematik sınıf tabanlı teorisi, yirminci yüzyılın ortalarında Chung, Feller ve diğerleri tarafından modern ders kitaplarında bulunan şekline geliştirilmiştir.
Öne çıkan isimler
- George Polya
- Andrey Markov
- Kai Lai Chung
İlgili konular
Temel eserler
- norris1997
Sıkça sorulan sorular
- Bir durumun tekrarlayıcı olması ne anlama gelmektedir?
- O durumdan başlayarak, zincir bir olasılıkla ona geri döner ve bu nedenle sonsuz kez geri döner; geçici bir durum ise, zincirin pozitif bir olasılıkla sonsuza dek terk edebileceği bir durumdur.
- Boyut, rastgele yürüyüş tekrarlılığı için neden önemlidir?
- Basit simetrik rastgele yürüyüş, bir ve iki boyutta tekrarlayıcı, ancak üç ve daha yüksek boyutlarda geçicidir, çünkü başlangıç noktasına geri dönme olasılığı, yürüyüşün ne kadar hızlı kaçabileceğine bağlıdır ve bu da boyutla birlikte artmaktadır.