Büyük Kardinaller
Büyük kardinaller, varlıkları ZFC'de kanıtlanamayacak kadar büyük kardinallerin varlığını ileri süren güçlü sonsuzluk aksiyomlarıdır ve matematiksel kuramların gücünü kalibre eden neredeyse doğrusal bir hiyerarşi oluşturmaktadırlar.
Tanım
Bir büyük kardinal aksiyomu, güçlü bir kapanım (closure) veya yansıma (reflection) özelliğine sahip, tipik olarak evrenin temel bir gömmesi (elementary embedding) aracılığıyla ifade edilebilen bir kardinalin varlığını ileri sürmektedir; bu tür kardinaller ZFC'nin varlığını kanıtlayabildiğinden daha fazlasını aşmakta ve böylece kuramın tutarlılık gücünü artırmaktadır.
Kapsam
Bu konu, erişilemez (inaccessible), Mahlo, zayıf kompakt (weakly compact), ölçülebilir (measurable) ve süperkompakt (supercompact) kardinaller gibi başlıca büyük kardinal kavramlarını, yansıma (reflection) ve temel gömmeler (elementary embeddings) aracılığıyla karakterizasyonlarını, ürettikleri tutarlılık-gücü hiyerarşisini ve determinizm (determinacy) ile iç model kuramı (inner model theory) ile bağlantılarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Ana büyük kardinalleri hangi kapanım (closure) ve yansıma (reflection) özellikleri tanımlamaktadır?
- Temel gömmeler (elementary embeddings) ölçülebilir ve daha güçlü kardinalleri nasıl karakterize etmektedir?
- Büyük kardinaller neden neredeyse doğrusal bir tutarlılık gücü hiyerarşisi oluşturmaktadır?
- Büyük kardinaller determinizm (determinacy) ve reel sayıların yapısı ile nasıl etkileşime girmektedir?
Temel kuramlar
- Erişilemez ve Mahlo Kardinaller
- Erişilemez bir kardinal düzenli (regular) ve güçlü bir sınırdır (strong limit), bu nedenle olağan küme işlemleriyle ulaşılamaz ve ZFC'nin doğal bir modelini vermektedir; Mahlo kardinaller erişilemezliği yansıtarak hiyerarşiyi başlatmaktadır.
- Ölçülebilir Kardinaller ve Temel Gömmeler
- Ölçülebilir bir kardinal, önemsiz olmayan sayılabilir tam bir ultrafiltre (nontrivial countably complete ultrafilter) taşımaktadır; eşdeğer olarak, evrenin bir iç modele (inner model) temel bir gömmesinin (elementary embedding) kritik noktasıdır ve bu durum yapısallık aksiyomunu (axiom of constructibility) çelişmektedir.
- Tutarlılık-Gücü Hiyerarşisi
- Büyük kardinal aksiyomları göreceli tutarlılığa göre sıralanmaktadır; öyle ki birinin tutarlılığı, tüm daha zayıf olanların tutarlılığını ima etmekte ve keyfi kuramların gücünün ölçüldüğü bir ölçüt sağlamaktadır.
Klinik önem
Büyük kardinaller, matematikte tutarlılık gücünün kanonik ölçeğini sağlamaktadır: birçok ifadenin bazı büyük kardinallerin varlığıyla eş tutarlı (equiconsistent) olduğu ortaya çıkmakta ve güçlü büyük kardinaller, projektif determinizm (projective determinacy) ve tanımlanabilir kümelerin Lebesgue ölçülebilirliği (Lebesgue measurability) gibi reel doğrunun düzenlilik özelliklerini ima etmektedir.
Tarihçe
Erişilemez kardinaller, Zermelo ve Sierpinski-Tarski'nin küme kuramı modelleri üzerine çalışmalarından ortaya çıkmış, Ulam'ın 1930'daki ölçü (measure) üzerine çalışması ise ölçülebilir kardinallere yol açmıştır. Scott, 1961'de ölçülebilir bir kardinalin yapısallık aksiyomunu (axiom of constructibility) çürüttüğünü göstermiş; Solovay, Martin, Woodin ve diğerlerinin sonraki çalışmaları ise modern hiyerarşiyi ve determinizm (determinacy) ile bağlantılarını inşa etmiştir.
Öne çıkan isimler
- Stanislaw Ulam
- Dana Scott
- Robert Solovay
- Hugh Woodin
İlgili konular
Temel eserler
- kanamori2009
- jech2003
- kunen2011
Sıkça sorulan sorular
- ZFC neden büyük kardinallerin varlığını kanıtlayamamaktadır?
- Erişilemez bir kardinal, ZFC'nin bir küme modelini vermektedir; bu nedenle Gödel'in ikinci eksiklik teoremi (Goedel's second incompleteness theorem) gereği ZFC, kendi tutarlılığını kanıtlamadan böyle bir kardinalin varlığını kanıtlayamamaktadır, ki bunu yapamamaktadır. Aynı akıl yürütme, a fortiori, daha güçlü büyük kardinaller için de geçerlidir.
- Tutarlı olduğu kanıtlanamayan aksiyomlar neden incelenmektedir?
- Büyük kardinaller, matematiksel kuramların gücünü karşılaştırmak için tutarlı ve iyi sıralanmış bir ölçek sağlamaktadır; ayrıca reel sayıların tanımlanabilir kümeleri (definable sets of reals) hakkındaki aksi takdirde bağımsız olan soruları çözmekte, bu da tutarlılıkları varsayılsa bile onları merkezi bir düzenleyici araç haline getirmektedir.