Ters Dönüşüm Örneklemesi
Ters dönüşüm örneklemesi, hedef bir dağılımdan örneklem üretmek için kümülatif dağılım fonksiyonunun tersini tekdüze bir rastgele sayı üzerinde değerlendirerek, tekdüze bir varyatı kesin bir örnekleme dönüştürmektedir.
Tanım
Ters dönüşüm örneklemesi, (0,1) aralığında U'yu tekdüze bir şekilde çekme ve hedefin kümülatif dağılım fonksiyonunun U'ya eşit olduğu değeri döndürme tekniğidir; böylece o dağılımdan kesin bir örneklem üretilmektedir.
Kapsam
Bu konu, yöntemi haklı çıkaran olasılık integral dönüşümünü, sürekli ve ayrık dağılımlara uygulamasını, ters kümülatif dağılım fonksiyonunun kapalı bir formu olmadığında sayısal tersine çevirmenin (numerical inversion) kullanımını ve yöntemin kabul-red (acceptance-rejection) ve özel algoritmalarla karşılaştırıldığında güçlü yönlerini ve sınırlamalarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Tekdüze bir varyata ters kümülatif dağılım fonksiyonunu uygulamak neden hedef dağılımı verir?
- Yöntem, genelleştirilmiş ters (generalized inverse) aracılığıyla ayrık dağılımlara nasıl uyarlanır?
- Kapalı formu olmayan bir kümülatif dağılım fonksiyonunu tersine çeviren sayısal teknikler nelerdir?
- Tersine çevirme, kabul-red (acceptance-rejection) veya dağılıma özgü algoritmalara ne zaman tercih edilir?
Anahtar kavramlar
- Kümülatif dağılım fonksiyonu
- Kantil fonksiyonu
- Olasılık integral dönüşümü
- Sayısal tersine çevirme (numerical inversion)
- Monotonluk
Temel kuramlar
- Olasılık integral dönüşümü
- Eğer X, sürekli kümülatif dağılım fonksiyonu F'ye sahipse, o zaman F(X), (0,1) aralığında tekdüzedir; tersine, tekdüze bir varyata uygulanan F'nin tersi, F dağılımına sahiptir ki bu, tersine çevirmenin (inversion) kesin temelidir.
- Ayrık ve karışık dağılımlar için genelleştirilmiş ters (generalized inverse)
- F kesinlikle artan olmadığında, kümülatif olasılığı U'ya ulaşan değerlerin infimumu olarak tanımlanan kantil fonksiyonu, tersine çevirmeyi ayrık ve karışık dağılımlara genişleterek, örneklemeyi kümülatif olasılıklar arasında bir aramaya indirger.
Klinik önem
Tersine çevirme, üstel, Cauchy, lojistik ve diğer birçok varyatı üretmek, ampirik ve uyarlanmış dağılımlardan simülasyon yapmak ve simülasyonları ortak rastgele sayılara bağlamak için temel bir yöntemdir; tek bir tekdüze giriş tek bir çıktıya eşlendiği için, aynı zamanda paylaşılan rastgelelik üzerine kurulu varyans azaltma şemalarını da mümkün kılmaktadır.
Tarihçe
Olasılık integral dönüşümü, yirminci yüzyılın başlarındaki matematiksel istatistikte kurulmuş ve dijital bilgisayarların kantil fonksiyonlarını değerlendirmeyi rutin hale getirmesiyle standart bir simülasyon aracı haline gelmiştir; daha sonra kapalı formda kantilleri olmayan dağılımlar için doğru sayısal tersine çevirmeye (numerical inversion) vurgu yapılmıştır.
Öne çıkan isimler
- Luc Devroye
- Christian P. Robert
- George Casella
İlgili konular
Temel eserler
- devroye1986
- robert2004
Sıkça sorulan sorular
- Ters dönüşüm örneklemesi doğrudan ne zaman kullanılamaz?
- Ters kümülatif dağılım fonksiyonunun değerlendirilmesini gerektirir. Tersi temel bir kapalı forma sahip olmayan normal dağılım gibi dağılımlar için doğru sayısal yaklaşımlar kullanılır veya kabul-red (acceptance-rejection) gibi başka bir yönteme geçilir.
- Tersine çevirme ayrık dağılımlar için işe yarar mı?
- Evet. Genelleştirilmiş tersi (generalized inverse) kullanarak, kümülatif olasılığı tekdüze çekilişten (uniform draw) en az olan en küçük değer döndürülür; bu da hedef için kümülatif olasılıklar tablosunda arama yapmaya eşdeğerdir.