การสุ่มตัวอย่างแบบผกผัน (Inverse Transform Sampling)

การสุ่มตัวอย่างแบบผกผันสร้างตัวอย่างจากการแจกแจงเป้าหมายโดยการประเมินค่าผกผันของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่ค่าสุ่มเอกรูป ซึ่งเปลี่ยนตัวแปรสุ่มเอกรูปให้เป็นตัวอย่างที่แม่นยำ

Definition

การสุ่มตัวอย่างแบบผกผันเป็นเทคนิคการสุ่ม U อย่างสม่ำเสมอบนช่วง (0,1) และส่งคืนค่าที่ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของเป้าหมายเท่ากับ U ซึ่งจะสร้างตัวอย่างที่แม่นยำจากการแจกแจงนั้น

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการแปลงปริพันธ์ความน่าจะเป็นที่รองรับวิธีการนี้ การประยุกต์ใช้กับการแจกแจงแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง การใช้วิธีผกผันเชิงตัวเลขเมื่อฟังก์ชันการแจกแจงสะสมผกผันไม่มีรูปแบบปิด และจุดแข็งและข้อจำกัดของวิธีนี้เมื่อเทียบกับการยอมรับ-ปฏิเสธ (acceptance-rejection) และอัลกอริทึมเฉพาะทาง

Core questions

• เหตุใดการใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมผกผันกับตัวแปรสุ่มเอกรูปจึงให้ผลลัพธ์เป็นการแจกแจงเป้าหมาย?
• วิธีการนี้ถูกปรับใช้กับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องผ่านฟังก์ชันผกผันทั่วไปได้อย่างไร?
• เทคนิคเชิงตัวเลขใดบ้างที่ใช้ผกผันฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่ไม่มีรูปแบบปิด?
• เมื่อใดที่การผกผันดีกว่าการยอมรับ-ปฏิเสธ (acceptance-rejection) หรืออัลกอริทึมเฉพาะการแจกแจง?

Key concepts

• ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
• ฟังก์ชันควอนไทล์
• การแปลงปริพันธ์ความน่าจะเป็น
• การผกผันเชิงตัวเลข
• ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว (Monotonicity)

Key theories

การแปลงปริพันธ์ความน่าจะเป็น

ถ้า X มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสม F แบบต่อเนื่อง แล้ว F(X) จะมีการแจกแจงเอกรูปบน (0,1); ในทางกลับกัน ฟังก์ชันผกผันของ F ที่ใช้กับตัวแปรสุ่มเอกรูปจะมีการแจกแจง F ซึ่งเป็นพื้นฐานที่แม่นยำของการผกผัน

ฟังก์ชันผกผันทั่วไปสำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องและแบบผสม

เมื่อ F ไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ฟังก์ชันควอนไทล์ที่กำหนดเป็นค่าอินฟิมัมของค่าที่ความน่าจะเป็นสะสมถึง U จะขยายการผกผันไปยังการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องและแบบผสม ลดการสุ่มตัวอย่างเป็นการค้นหาผ่านความน่าจะเป็นสะสม

Clinical relevance

การผกผันเป็นกลไกหลักในการสร้างตัวแปรสุ่มแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (exponential), โคชี (Cauchy), โลจิสติก (logistic) และตัวแปรอื่นๆ อีกมากมาย สำหรับการจำลองจากการแจกแจงเชิงประจักษ์และแบบปรับพอดี และสำหรับการเชื่อมโยงการจำลองเข้ากับตัวเลขสุ่มทั่วไป เนื่องจากอินพุตเอกรูปเดียวจับคู่กับเอาต์พุตเดียว จึงช่วยให้สามารถใช้แผนการลดความแปรปรวนที่สร้างขึ้นจากความสุ่มร่วมกันได้

History

การแปลงปริพันธ์ความน่าจะเป็นได้รับการจัดตั้งขึ้นในสถิติทางคณิตศาสตร์ช่วงต้นศตวรรษที่ 20 และกลายเป็นเครื่องมือจำลองมาตรฐานเมื่อคอมพิวเตอร์ดิจิทัลทำให้การประเมินฟังก์ชันควอนไทล์เป็นเรื่องปกติ โดยเน้นในภายหลังที่การผกผันเชิงตัวเลขที่แม่นยำสำหรับการแจกแจงที่ไม่มีควอนไทล์ในรูปแบบปิด

Key figures

• Luc Devroye
• Christian P. Robert
• George Casella

Seminal works

• devroye1986
• robert2004

Frequently asked questions

เมื่อใดที่ไม่สามารถใช้การสุ่มตัวอย่างแบบผกผันได้โดยตรง?

ต้องมีการประเมินฟังก์ชันการแจกแจงสะสมผกผัน สำหรับการแจกแจงเช่นการแจกแจงปกติ ซึ่งฟังก์ชันผกผันไม่มีรูปแบบปิดเชิงประถม เราจะใช้การประมาณเชิงตัวเลขที่แม่นยำหรือเปลี่ยนไปใช้วิธีอื่น เช่น การยอมรับ-ปฏิเสธ (acceptance-rejection)

การผกผันใช้ได้กับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่?

ได้ โดยใช้ฟังก์ชันผกผันทั่วไป เราจะส่งคืนค่าที่น้อยที่สุดที่ความน่าจะเป็นสะสมมีค่าอย่างน้อยเท่ากับการสุ่มเอกรูป ซึ่งเทียบเท่ากับการค้นหาในตารางความน่าจะเป็นสะสมสำหรับเป้าหมาย