กรุปกาโลอิส

กรุปกาโลอิสของการภาคขยายฟีลด์คือกรุปของการแปลงอัตสัณฐานของฟีลด์ที่ตรึงฟีลด์ฐานไว้ ซึ่งเข้ารหัสสมมาตรของรากของพหุนามและจัดทำดัชนีฟีลด์ขั้นกลาง

Definition

สำหรับการภาคขยายฟีลด์ กรุปกาโลอิสคือกรุปของการแปลงอัตสัณฐานของฟีลด์ที่ใหญ่กว่าซึ่งตรึงสมาชิกทุกตัวของฟีลด์ฐานไว้ การภาคขยายจะเรียกว่ากาโลอิสเมื่อกรุปนี้มีขนาดเท่ากับดีกรี ซึ่งเกิดขึ้นอย่างแม่นยำสำหรับการภาคขยายจำกัดที่เป็นปรกติและแยกกันได้

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการแปลงอัตสัณฐานของการภาคขยายฟีลด์, นิยามของกรุปกาโลอิส, การภาคขยายปรกติและแยกกันได้, ทฤษฎีบทหลักมูลของทฤษฎีกาโลอิส, และการคำนวณกรุปกาโลอิสของพหุนามและการตีความในฐานะกรุปการเรียงสับเปลี่ยนของราก

Core questions

• การภาคขยายฟีลด์มีสมมาตรแบบใดบ้าง?
• เมื่อใดที่การภาคขยายเป็นกาโลอิส และกรุปการแปลงอัตสัณฐานของมันมีขนาดเท่าใด?
• กรุปกาโลอิสสอดคล้องกับฟีลด์ขั้นกลางอย่างไร?
• กรุปกาโลอิสของพหุนามถูกทำให้เป็นจริงในฐานะกรุปการเรียงสับเปลี่ยนของรากได้อย่างไร?

Key theories

ทฤษฎีบทหลักมูลของทฤษฎีกาโลอิส

สำหรับการภาคขยายกาโลอิสจำกัด มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่กลับทิศทางการรวมกันระหว่างฟีลด์ขั้นกลางและกรุปย่อยของกรุปกาโลอิส ภายใต้การจับคู่นี้ ดีกรีของการภาคขยายย่อยจะเท่ากับดัชนีของกรุปย่อยที่สอดคล้องกัน

กรุปกาโลอิสในฐานะการเรียงสับเปลี่ยนของราก

กรุปกาโลอิสของพหุนามที่แยกกันได้จะกระทำอย่างซื่อสัตย์ต่อรากของมัน โดยฝังกรุปกาโลอิสเป็นกรุปย่อยของกรุปสมมาตรบนรากเหล่านั้น ซึ่งจำกัดและช่วยในการคำนวณกรุป

ทฤษฎีบทของ Artin เกี่ยวกับฟีลด์ที่ตรึงไว้

หากกรุปจำกัดของการแปลงอัตสัณฐานกระทำบนฟีลด์ ฟีลด์ทั้งหมดจะเป็นการภาคขยายกาโลอิสของฟีลด์ย่อยที่ตรึงไว้โดยมีกรุปนั้นเป็นกรุปกาโลอิส ซึ่งเป็นการให้บทกลับของการสร้างกรุปกาโลอิส

Clinical relevance

กรุปกาโลอิสเปลี่ยนคำถามเกี่ยวกับการภาคขยายฟีลด์และสมการพหุนามให้เป็นทฤษฎีกรุป ความสามารถในการแก้ปัญหาของกรุปกาโลอิสเป็นตัวตัดสินความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้ราก และปัญหาอินเวอร์สกาโลอิสและการแสดงกาโลอิสทำให้กรุปกาโลอิสเป็นศูนย์กลางของทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่และเรขาคณิตเชิงคณิตศาสตร์

History

กาโลอิสได้เชื่อมโยงสมการแต่ละสมการเข้ากับกรุปของการเรียงสับเปลี่ยนของรากในทศวรรษ 1830 ซึ่งเป็นกรุปกาโลอิสดั้งเดิม Dedekind และ Artin ได้นำแนวคิดนี้มาปรับปรุงใหม่ในแง่ของการแปลงอัตสัณฐานของฟีลด์ และการกำหนดของ Artin ในแง่ของฟีลด์ที่ตรึงไว้ได้ให้ทฤษฎีนี้มีรูปแบบที่ทันสมัยและเป็นแนวคิด

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

เมื่อใดที่การภาคขยายฟีลด์เป็นกาโลอิส?

การภาคขยายจำกัดจะเป็นกาโลอิสเมื่อเป็นทั้งแบบปรกติ (ประกอบด้วยคู่ควบทั้งหมดของแต่ละสมาชิก) และแยกกันได้ (พหุนามลดทอนไม่ได้มีรากที่แตกต่างกัน) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง กรุปการแปลงอัตสัณฐานที่ตรึงฐานมีอันดับเท่ากับดีกรี

เหตุใดจึงมองกรุปกาโลอิสว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนราก?

การแปลงอัตสัณฐานที่ตรึงฟีลด์ฐานจะต้องส่งรากของพหุนามไปยังรากอื่นๆ ดังนั้นกรุปจึงกระทำบนเซตจำกัดของราก สิ่งนี้ทำให้กรุปกาโลอิสเป็นจริงภายในกรุปสมมาตร ทำให้สามารถคำนวณได้และเชื่อมโยงกับทฤษฎีกรุปการเรียงสับเปลี่ยน