Теория топосов

Топос — это категория, которая ведет себя как категория множеств и поддерживает внутреннюю логику, обобщая как теорию множеств, так и теорию пучков, а также предоставляя основу для категориальных оснований математики.

Definition

Элементарный топос — это категория с конечными пределами, экспоненциальными объектами и классификатором подобъектов; он обладает достаточной структурой для интерпретации интуиционистской логики высшего порядка, поэтому он функционирует как обобщенная вселенная множеств со своей собственной внутренней математикой.

Scope

Эта тема охватывает элементарные топосы, определяемые конечными пределами, экспоненциалами и классификатором подобъектов, топосы Гротендика как категории пучков на сайте, внутреннюю интуиционистскую логику высшего порядка топоса и роль топосов в создании структурных и альтернативных оснований, а также в связывании геометрии с логикой.

Core questions

• Какая категориальная структура заставляет категорию вести себя как категория множеств?
• Как топос несет внутреннюю логику, и почему она интуиционистская?
• Как топосы Гротендика обобщают пучки и кодируют геометрию?
• В каком смысле топос может служить основанием для математики?

Key theories

Классификатор подобъектов и внутренняя логика

Классификатор подобъектов представляет подобъекты посредством отображений в объект истинностного значения, наделяя каждый топос внутренней логикой высшего порядка, которая в целом является интуиционистской, а не классической.

Топосы Гротендика

Категории пучков на сайте образуют топосы Гротендика, обобщая топологические пространства и предоставляя категориальную основу, разработанную Гротендиком для когомологий в алгебраической геометрии.

Топосы как основания

Хорошо пунктированный топос, удовлетворяющий принципу выбора, моделирует структурную теорию множеств, поэтому теория топосов предоставляет категориальную альтернативу основаниям математики, основанным на принадлежности.

Clinical relevance

Теория топосов объединяет геометрию и логику: топосы Гротендика лежат в основе современной алгебраической геометрии и когомологий, внутренняя интуиционистская логика топосов моделирует конструктивную математику и обеспечивает семантику для теории типов, а элементарные топосы дают структурное описание оснований математики.

History

Гротендик и его сотрудники ввели топосы как категории пучков в 1960-х годах для поддержки когомологий схем. Затем Ловер и Тирни дали элементарную, чисто категориальную аксиоматизацию в начале 1970-х годов, раскрыв внутреннюю логику топоса и утвердив теорию топосов как мост между геометрией, логикой и основаниями математики.

Key figures

• Alexander Grothendieck
• F. William Lawvere
• Myles Tierney
• Peter Johnstone

Seminal works

• maclanemoerdijk1994
• johnstone2002
• awodey2010

Frequently asked questions

Почему внутренняя логика топоса интуиционистская?

Классификатор подобъектов не обязательно должен удовлетворять закону исключенного третьего, потому что решетка истинностных значений в общем топосе является алгеброй Гейтинга, а не булевой. В результате внутренняя логика является интуиционистской, а классическая логика восстанавливается только в специальных топосах.

Как топос обобщает категорию множеств?

Категория множеств является простейшим топосом, и общий топос сохраняет свои ключевые структурные особенности: конечные пределы, функциональные пространства и классификатор подмножеств, допуская при этом вариации по пространству или логической теории. Это позволяет заниматься математикой, подобной теории множеств, в таких контекстах, как пучки, где истина локальна.