Квадратичная взаимность

Закон квадратичной взаимности, который Гаусс назвал золотой теоремой, связывает то, является ли простое число p квадратом по модулю q, с тем, является ли q квадратом по модулю p, предоставляя мощный и неожиданно симметричный критерий разрешимости.

Definition

Целое число является квадратичным вычетом по модулю простого числа p, если оно сравнимо с полным квадратом по модулю p. Квадратичная взаимность — это теорема, связывающая для различных нечетных простых чисел p и q разрешимость сравнения x в квадрате сравнимо с q по модулю p с разрешимостью сравнения x в квадрате сравнимо с p по модулю q.

Scope

Эта тема охватывает квадратичные вычеты и невычеты по модулю простого числа, критерий Эйлера, символ Лежандра и его мультипликативность, символ Якоби, два дополнительных закона (для минус единицы и для двойки), а также сам основной закон взаимности, включая его роль как первого примера законов взаимности теории полей классов.

Core questions

• Для данного нечетного простого числа p, какие вычеты являются квадратами, и как критерий Эйлера определяет это?
• Как символы Лежандра и Якоби кодируют информацию о вычетах и ведут себя мультипликативно?
• Что именно утверждает закон взаимности, и как дополнительные законы обрабатывают минус единицу и двойку?
• Почему квадратичная взаимность рассматривается как прототип высших законов взаимности теории полей классов?

Key theories

Критерий Эйлера и символ Лежандра

Целое число a является квадратичным вычетом по модулю нечетного простого числа p тогда и только тогда, когда a в степени (p минус один)/2 сравнимо с единицей; символ Лежандра записывает этот знак и является полностью мультипликативным по своему верхнему аргументу.

Закон квадратичной взаимности

Для различных нечетных простых чисел p и q произведение двух символов Лежандра равно минус единице в степени ((p минус один)/2)((q минус один)/2), поэтому взаимность нарушается только тогда, когда оба простых числа сравнимы с тремя по модулю четыре.

Дополнительные законы и символ Якоби

Отдельные правила определяют, когда минус единица и двойка являются вычетами, а символ Якоби расширяет символ Лежандра на составные модули, обеспечивая эффективные вычисления без факторизации.

Clinical relevance

Взаимность и символ Якоби предоставляют быстрые алгоритмы для определения квадратичной вычетности, используемые в тестах на простоту (Соловей-Штрассен), при вычислении квадратных корней по модулю простых чисел и в криптографических схемах, безопасность которых основана на предположении о квадратичной вычетности.

History

Предположенный Эйлером и Лежандром, закон был впервые полностью доказан Гауссом в 1796 году, который неоднократно возвращался к нему и представил восемь различных доказательств; в настоящее время известно более двухсот доказательств. Его обобщение на более высокие степени мотивировало Эйзенштейна, Куммера и, в конечном итоге, законы взаимности теории полей классов.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

Почему Гаусс доказывал одну и ту же теорему восемь раз?

Каждое доказательство освещало различные структуры (суммы Гаусса, подсчет точек решетки, циклотомия), и Гаусс искал доказательство, которое обобщалось бы на более высокие законы взаимности, что впоследствии стимулировало развитие алгебраической теории чисел.

В чем разница между символами Лежандра и Якоби?

Символ Лежандра определяется для нечетного простого модуля и точно определяет квадратичные вычеты; символ Якоби обобщает его на нечетные составные модули для вычислений, но значение единицы больше не гарантирует, что число является вычетом.