Великая теорема Ферма

Великая теорема Ферма утверждает, что не существует трёх положительных целых чисел, удовлетворяющих уравнению a в степени n плюс b в степени n равно c в степени n для любого показателя степени n больше двух — утверждение, остававшееся недоказанным более трёх столетий, пока оно не было разрешено посредством модулярности эллиптических кривых.

Definition

Великая теорема Ферма — это утверждение о том, что уравнение x в степени n плюс y в степени n равно z в степени n не имеет решений в положительных целых числах x, y, z всякий раз, когда целый показатель степени n больше двух.

Scope

Эта тема охватывает формулировку Великой теоремы Ферма, её сведение к простым показателям степени и к кривой Ферма, прогресс Куммера в девятнадцатом веке с использованием идеальных чисел и регулярных простых чисел, кривую Фрея, связанную с гипотетическим решением, эпсилон-гипотезу, доказанную Рибетом, связывающую её с модулярностью, и доказательство Уайлса модулярности полустабильных эллиптических кривых, которое завершает аргумент.

Core questions

• Почему достаточно доказать теорему для простых показателей степени и для показателя степени четыре?
• Насколько классические методы, особенно теория идеальных чисел и регулярных простых чисел Куммера, продвинули решение проблемы?
• Как кривая Фрея превращает гипотетическое решение Ферма в эллиптическую кривую с невозможными свойствами?
• Как теорема Рибета и теорема о модулярности объединяются для завершения доказательства?

Key theories

Регулярные простые числа Куммера

Куммер доказал Великую теорему Ферма для всех регулярных простых показателей степени, используя идеальные числа, введя при этом аппарат групп классов алгебраической теории чисел.

Кривая Фрея и теорема Рибета

Нетривиальное решение Ферма привело бы к эллиптической кривой Фрея, которая, как доказал Рибет, не могла быть модулярной; таким образом, модулярность таких кривых вынудила бы уравнение Ферма не иметь решений.

Теорема о модулярности (Уайлс-Тейлор)

Уайлс, совместно с Тейлором, доказал, что полустабильные рациональные эллиптические кривые являются модулярными, что противоречит существованию кривой Фрея и тем самым доказывает Великую теорему Ферма.

Clinical relevance

Хотя сама теорема не имеет прямого применения, аппарат доказательства — представления Галуа, теория деформаций и подъём модулярности — стал основной технологией в программе Ленглендса и в арифметико-геометрических методах, которые также лежат в основе криптографии на эллиптических кривых.

History

Ферма записал это утверждение около 1637 года на полях своего экземпляра Диофанта, утверждая, что у него есть доказательство, которое он так и не записал. Эйлер, Софи Жермен и Куммер разрешили многие случаи в течение следующих двух столетий; Фрей, Серр и Рибет свели её к модулярности в 1980-х годах, а Уайлс объявил о доказательстве в 1993 году, завершил его с Тейлором в 1994 году и опубликовал в 1995 году.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

Действительно ли у Ферма было доказательство?

Почти наверняка не было правильного общего доказательства. Необходимые методы были разработаны только в двадцатом веке, и любой аргумент семнадцатого века опирался бы на допущения, такие как единственность разложения на множители, которые не выполняются в соответствующих кольцах.

Как уравнение о степенях связано с эллиптическими кривыми?

Гипотетическое решение может быть упаковано в эллиптическую кривую Фрея; её арифметические свойства противоречили бы теореме о модулярности, поэтому модулярность эллиптических кривых вынуждает исходное уравнение быть неразрешимым.