Аксиоматическая теория множеств (ZFC)

Теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) — это аксиоматическая система первого порядка, которая служит стандартным формальным основанием современной математики.

Definition

ZFC — это теория в логике первого порядка с единственным символом бинарного отношения принадлежности, аксиомы которой (экстенсиональности, пары, объединения, степени, бесконечности, выделения, замены, фундирования и выбора) описывают универсум множеств и из которых может быть выведена обычная математика.

Scope

Эта тема охватывает отдельные аксиомы ZFC, кумулятивную иерархию множеств, которую они порождают, роль схем аксиом выделения и замены, а также особый статус аксиомы выбора. Объясняется, как привычные математические объекты кодируются как множества в этой системе.

Core questions

• Что утверждает каждая аксиома ZFC и почему она необходима?
• Как кумулятивная иерархия организует универсум множеств?
• Почему аксиома выбора выделяется особо и что она подразумевает?
• Как числа, функции и отношения конструируются как множества в рамках ZFC?

Key theories

Аксиома экстенсиональности и фундирования

Аксиома экстенсиональности утверждает, что множества определяются своими элементами, а аксиома фундирования исключает бесконечные убывающие цепи принадлежности, структурируя универсум как вполне фундированную кумулятивную иерархию.

Схемы аксиом выделения и замены

Схема выделения образует подмножества, определяемые свойством, а схема замены позволяет считать образом множества при определимой функции класса множество, что в совокупности обеспечивает достаточную мощность для построения больших множеств без повторного введения классических парадоксов.

Аксиома выбора

Аксиома выбора утверждает, что любая коллекция непустых множеств имеет функцию выбора; она эквивалентна лемме Цорна и теореме о вполнеупорядочении и незаменима во многих областях математики, но независима от других аксиом.

Clinical relevance

ZFC является неявной основой, в которой рассуждает большинство работающих математиков: она определяет, какие объекты существуют и какие конструкции являются легитимными, поэтому понимание ее аксиом проясняет, какие аргументы являются фундаментально обоснованными, а какие зависят от выбора или других оспариваемых принципов.

History

Цермело предложил первую аксиоматизацию в 1908 году, чтобы обосновать свое доказательство теоремы о вполнеупорядочении; Френкель и Сколем добавили схему замены в 1920-х годах, а фон Нейман уточнил кумулятивную иерархию и аксиому фундирования, создав систему, ныне называемую ZFC.

Key figures

• Ernst Zermelo
• Abraham Fraenkel
• Thoralf Skolem
• John von Neumann

Seminal works

• kunen2011
• jech2003
• enderton1977

Frequently asked questions

Почему бы просто не использовать наивную теорию множеств?

Наивное понимание, которое позволяет образовывать множество всех множеств, удовлетворяющих любому свойству, приводит к парадоксу Рассела. ZFC заменяет неограниченное понимание ограниченными схемами выделения и замены, которые позволяют избежать парадоксов, оставаясь при этом достаточно мощными для математики.

Необходима ли аксиома выбора?

Большая часть основной математики, включая базисы для векторных пространств и многие результаты в анализе и алгебре, опирается на нее. Она независима от других аксиом, поэтому ее можно последовательно принимать или отрицать, но традиционно она принимается.