Anel Noetheriano

Um anel Noetheriano é aquele em que todo ideal é finitamente gerado, ou equivalentemente, cujos ideais satisfazem a condição da cadeia ascendente, uma hipótese de finitude que torna a teoria dos ideais tratável.

Definition

Um anel comutativo é Noetheriano se toda cadeia ascendente de ideais se estabiliza, equivalentemente se todo ideal é finitamente gerado, equivalentemente se toda coleção não vazia de ideais possui um elemento maximal.

Scope

Este tópico aborda as formulações equivalentes da condição Noetheriana, o teorema da base de Hilbert, módulos Noetherianos, a persistência da propriedade sob quocientes, localização e geração finita, e seu papel como a hipótese fundamental da álgebra comutativa e da geometria algébrica.

Core questions

• Quais condições equivalentes definem um anel Noetheriano?
• Por que o teorema da base de Hilbert mantém os anéis de polinômios Noetherianos?
• Como a propriedade Noetheriana se transmite a quocientes, localizações e álgebras finitamente geradas?
• Por que a hipótese Noetheriana é quase ubíqua na álgebra comutativa?

Key theories

Formulações equivalentes

A condição da cadeia ascendente em ideais, a geração finita de todo ideal e a condição do elemento maximal em famílias de ideais são equivalentes, fornecendo várias definições intercambiáveis de um anel Noetheriano.

Teorema da base de Hilbert

Se um anel é Noetheriano, então o anel de polinômios sobre ele em um número finito de variáveis também o é, de modo que álgebras finitamente geradas sobre corpos e sobre os inteiros são Noetherianas.

Estabilidade da propriedade

Quocientes e localizações de anéis Noetherianos são Noetherianos, e módulos finitamente gerados sobre um anel Noetheriano são Noetherianos, de modo que a classe é fechada sob as construções padrão da álgebra comutativa.

Clinical relevance

A condição Noetheriana é a hipótese de finitude subjacente a quase toda a álgebra comutativa e geometria algébrica: ela garante que a decomposição primária existe, que as variedades são definidas por um número finito de equações, e que as construções chave terminam, de modo que os anéis que surgem na geometria e na teoria dos números são quase sempre Noetherianos.

History

David Hilbert provou seu teorema da base em 1890 no contexto da teoria dos invariantes, mas a condição abstrata da cadeia ascendente e a teoria sistemática dos anéis Noetherianos são devidas a Emmy Noether na década de 1920, em homenagem a quem o conceito é nomeado.

Key figures

• Emmy Noether
• David Hilbert
• Emanuel Lasker

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

Por que a geração finita de ideais é uma hipótese tão útil?

Ela garante que os ideais, e consequentemente os conjuntos algébricos que eles definem, são descritos por uma quantidade finita de dados, que as cadeias ascendentes de ideais não podem continuar indefinidamente, e que os argumentos indutivos terminam. Estas são exatamente as condições necessárias para a decomposição primária e a teoria da dimensão.

A maioria dos anéis encontrados na prática são Noetherianos?

Sim. Corpos, domínios de ideais principais, anéis de inteiros e qualquer álgebra finitamente gerada sobre eles são Noetherianos pelo teorema da base de Hilbert. Anéis não-Noetherianos existem, mas são comparativamente exóticos na geometria e na teoria dos números.