Representação de Grupo

Uma representação de grupo realiza os elementos de um grupo como transformações lineares invertíveis de um espaço vetorial, traduzindo a teoria de grupos para a álgebra linear e expondo a estrutura através de caracteres.

Definition

Uma representação de um grupo G em um espaço vetorial V é um homomorfismo de G para o grupo de operadores lineares invertíveis em V, equivalentemente um módulo sobre a álgebra de grupo de G.

Scope

Este tópico abrange representações e sua equivalência, representações irredutíveis, o teorema de Maschke sobre redutibilidade completa, o lema de Schur, caracteres e relações de ortogonalidade, e a decomposição de representações sobre corpos de característica zero. É a porta de entrada para a teoria de representações de grupos finitos.

Core questions

• Como um grupo pode ser modelado por matrizes atuando em um espaço vetorial?
• Quando uma representação se decompõe em partes irredutíveis?
• Que informação sobre uma representação é capturada por seu caráter?
• Como as relações de ortogonalidade classificam as representações irredutíveis de um grupo finito?

Key theories

Teorema de Maschke

Sobre um corpo cuja característica não divide a ordem do grupo, toda representação de um grupo finito é completamente redutível, decompondo-se como uma soma direta de representações irredutíveis.

Lema de Schur

Qualquer homomorfismo entre representações irredutíveis é zero ou um isomorfismo, e sobre um corpo algebricamente fechado os endomorfismos de uma representação irredutível são escalares, a pedra angular da teoria dos caracteres.

Relações de ortogonalidade de caracteres

Os caracteres das representações complexas irredutíveis de um grupo finito formam uma base ortonormal para o espaço das funções de classe, de modo que o número de irredutíveis é igual ao número de classes de conjugação e toda representação é determinada por seu caráter.

Clinical relevance

A teoria das representações torna os grupos finitos computáveis através da álgebra linear e é indispensável na mecânica quântica e espectroscopia (bases adaptadas à simetria e regras de seleção), em cristalografia e na análise de simetria em física, bem como na teoria dos números através das representações anexadas aos grupos de Galois.

History

Frobenius introduziu caracteres e representações de grupos finitos na década de 1890, e Schur, Burnside e Weyl desenvolveram a teoria em uma poderosa ferramenta estrutural. O teorema de Maschke e as relações de ortogonalidade deram ao assunto a forma ensinada hoje e o conectaram à física da simetria.

Key figures

• Georg Frobenius
• Issai Schur
• William Burnside
• Hermann Weyl

Seminal works

• serre1977
• dummit2004
• lang2002

Frequently asked questions

Por que representar um grupo com matrizes?

A álgebra linear é muito mais computável do que a teoria de grupos abstrata, e os caracteres reduzem uma representação a uma única função de classe. A teoria dos caracteres de Frobenius permitiu aos matemáticos provar resultados profundos, como o teorema de Burnside sobre grupos de ordem divisível por apenas dois primos, que de outra forma seriam inacessíveis.

O que significa para uma representação ser irredutível?

Uma representação irredutível não possui subespaço próprio não nulo preservado por cada elemento do grupo; é um bloco construtor. O teorema de Maschke afirma que, em boa característica, toda representação é uma soma direta desses blocos.