Resiprokt gitter og Brillouin-soner

Det resiproke gitteret er Fourier-rom-partneren til et krystallgitter, og dets Wigner-Seitz-celle, den første Brillouin-sonen, er arenaen der diffraksjon, elektronbånd og fonondispersjoner uttrykkes.

Definition

Det resiproke gitteret er settet av bølgevektorer hvis planbølger deler periodisiteten til et gitt Bravais-gitter; den første Brillouin-sonen er den primitive Wigner-Seitz-cellen til det resiproke gitteret og fungerer som det fundamentale domenet for krystallimpuls.

Scope

Dette emnet konstruerer det resiproke gitteret fra det direkte gitteret, relaterer resiproke gittervektorer til familier av gitterplan og Miller-indekser, og bygger den første Brillouin-sonen som Wigner-Seitz-cellen til det resiproke gitteret. Det viser hvordan det resiproke gitteret koder diffraksjonsbetingelsen (Laue) og gir det periodiske domenet for krystallimpuls som brukes gjennom båndteori og gitterdynamikk. Det utfyller klassifiseringen i reelt rom og diffraksjonseksperimentene som behandles i beslektede emner.

Core questions

• Hvordan konstrueres det resiproke gitteret fra de primitive vektorene til det direkte gitteret?
• Hvorfor tilsvarer resiproke gittervektorer familier av krystallplan og Miller-indekser?
• Hva er den første Brillouin-sonen, og hvorfor er den det naturlige domenet for k-rom-størrelser?
• Hvordan uttrykker det resiproke gitteret diffraksjonsbetingelsen?

Key concepts

• Resiproke gittervektorer
• Miller-indekser og gitterplan
• Første Brillouin-sone og Wigner-Seitz-cellen
• Krystallimpuls og sonefolding
• Laue-betingelsen i resiprokt rom

Clinical relevance

Det resiproke gitteret og Brillouin-sonen er uunnværlige arbeidsverktøy: diffraksjonsmønstre er kart over det resiproke gitteret, elektroniske båndstrukturer og fonondispersjoner plottes over Brillouin-sonen, og Fermi-flater defineres innenfor den.

History

Ewald introduserte det resiproke gitteret som et bokføringsverktøy for diffraksjon i 1913, og Brillouin definerte sonene som bærer hans navn i 1930 mens han analyserte elektronforplantning i periodiske gitter, noe som ga båndteorien sitt standard geometriske språk.

Key figures

• Léon Brillouin
• Paul Peter Ewald
• Eugene Wigner

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

Hvorfor introdusere et resiprokt gitter i det hele tatt?

Fordi en periodisk funksjon naturlig utvides i planbølger hvis bølgevektorer er resiproke gittervektorer; å arbeide i resiprokt rom gjør konvolusjonslignende problemer i reelt rom, som diffraksjon og bølgeforplantning, om til enkel algebra.

Hva gjør den første Brillouin-sonen spesiell?

Det er den minste regionen i resiprokt rom som inneholder hver fysisk distinkte verdi av krystallimpuls; enhver bølgevektor utenfor den skiller seg fra en innenfor med en resiprok gittervektor og er fysisk ekvivalent.