経路積分と摂動論

経路積分は、量子振幅を可能なすべての場の配位の合計として表現し、ファインマンダイアグラムによって組織化された摂動計算の基礎を提供します。

Definition

経路積分は、状態間の遷移振幅がすべての場の配位にわたる重み付き和によって与えられる量子論の定式化であり、摂動論は、結合定数のべき乗における相互作用振幅の展開であり、ファインマンダイアグラムによって図式的に表現されます。

Scope

このトピックは、量子力学および場の理論におけるファインマンの経路積分定式化を扱います。この定式化では、確率振幅は、作用によって重み付けされたすべての可能な履歴からの寄与を合計することによって計算されます。結合定数のべき乗で相互作用理論を体系的に展開すること、各項をプロパゲーターと頂点を持つファインマンダイアグラムに変換すること、およびこれらの振幅から散乱断面積と崩壊率を抽出することについて説明します。

Core questions

• 可能なすべての履歴を合計することが、どのように量子力学を再現するのでしょうか？
• 相互作用する場の理論は、結合定数の級数としてどのように展開されるのでしょうか？
• ファインマンダイアグラムは、摂動展開の項をどのように符号化するのでしょうか？
• 測定可能な断面積と崩壊率は、散乱振幅からどのように抽出されるのでしょうか？

Key concepts

• 履歴の総和
• 作用と位相因子
• ファインマンプロパゲーター
• 相互作用頂点
• ツリーレベルとループダイアグラム
• 断面積と崩壊率

Key theories

経路積分定式化

量子振幅は、すべての場の配位にわたって位相因子 exp(iS) を積分することによって得られ、作用がプランク定数に比べて大きい極限で古典的な経路が回復されます。

図式摂動論

結合展開の各次数は、ファインマンダイアグラムのセットに対応し、その線と頂点は、固定された規則によって散乱振幅への数学的寄与に変換されます。

Clinical relevance

経路積分と摂動論は、衝突型加速器の観測量を予測するための標準的な手法を提供し、格子ゲージ理論と強い相互作用のモンテカルロシミュレーションの基礎となり、統計力学や凝縮系物理学にも応用される方法を提供します。

History

ディラックの示唆に基づき、ファインマンは1948年に量子力学への経路積分アプローチを定式化し、量子電磁力学のために彼の名にちなんだ図式規則を開発しました。ダイソンは、ファインマンのダイアグラムとシュウィンガーおよび朝永の演算子法の等価性を示し、経路積分は後にゲージ理論を量子化し、格子場の理論を定式化するための好ましい枠組みとなりました。

Key figures

• Richard Feynman
• Paul Dirac
• Freeman Dyson

Seminal works

• feynman1948
• feynmanhibbs1965

Frequently asked questions

すべての経路を合計するとはどういう意味ですか？

経路積分では、初期状態と最終状態を結ぶ考えられるすべての履歴が、振幅に複素位相を寄与します。経路は干渉し、作用が大きい場合に古典的な経路の近くで支配的な寄与が現れます。

ファインマンダイアグラムは粒子の経路の文字通りの絵ですか？

いいえ。ファインマンダイアグラムは、摂動展開における項の整理のための道具です。その線はプロパゲーターを表し、その頂点は相互作用を表しますが、空間における粒子の実際の軌跡を表すものではありません。