階層ベイズモデル
階層ベイズモデルは、関連するユニット間で情報を共有するために、それらのパラメータに共通の事前分布を与え、すべてのグループの推定値を改善する部分的プーリングをもたらします。
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Definition
階層ベイズモデルは、グループ固有のパラメータに事前分布を設定し、その事前分布自体が独自の（超）事前分布を持つ高レベルのパラメータに依存するため、グループ間で情報が借用され、不確実性が階層のすべてのレベルを通じて伝播します。
Scope
この分野は、多層モデル構造と部分的プーリング、母集団レベルのパラメータに対する超事前分布の役割、その結果としてのグループ推定値の全体平均への縮小、およびデータから事前分布を推定する経験ベイズ近似を扱います。
Sub-topics
Core questions
- 階層的な事前分布は、グループ間でどのように部分的プーリングを誘発しますか？
- ハイパーパラメータと超事前分布はモデルにおいてどのような役割を果たしますか？
- グループレベルの推定値はなぜ、そしてどのように母集団平均に縮小されますか？
- 経験ベイズは完全な階層分析をどのように近似しますか？
Key concepts
- 多層モデル
- 部分的プーリング
- ハイパーパラメータ
- 超事前分布
- 縮小
- 変量効果
- 経験ベイズ
- 情報の借用
Key theories
- 部分的プーリング
- 共通の事前分布の下でグループパラメータを共同で推定することにより、階層モデルはプーリングなしと完全なプーリングの間を補間し、プーリングの程度はデータによって決定されます。
- 縮小とシュタイン効果
- グループ推定値を母集団平均に縮小することで、総推定誤差が減少します。この現象は、シュタイン推定量によって示された多次元における標本平均の非許容性と関連しています。
Clinical relevance
階層モデルは、メタアナリシス、多施設臨床試験、小地域推定、および多くの関連するグループが存在するあらゆる状況における標準的なツールです。これは、データが疎な場合に部分的プーリングが推定値を安定させるためです。
History
リンデリーとスミスは1972年にベイズ線形階層モデルを定式化し、1950年代から1970年代のシュタインと経験ベイズの研究に基づいて、縮小の利点を明らかにしました。その後の計算技術の進歩により、完全ベイズ階層モデリングは応用分野全体で日常的に使用されるようになりました。
Debates
- 分散成分に対する事前分布
- グループ数が少ない場合、グループレベルの分散に対する超事前分布の選択は縮小に強く影響し、どの弱情報事前分布が最適に機能するかについて議論が続いています。
Key figures
- Dennis Lindley
- Adrian Smith
- Bradley Efron
- Carl Morris
- Andrew Gelman
Related topics
Seminal works
- gelman2013
- efron1975
Frequently asked questions
- 部分的プーリングとは何ですか？
- 部分的プーリングは、各グループのパラメータを、そのグループ自身のデータと、共通の事前分布を介した他のグループからの情報の両方を使用して推定します。これにより、完全に分離した（プーリングなし）分析と完全に結合した（完全なプーリング）分析の中間の推定値が生成されます。
- 階層推定値はなぜ「縮小」されるのですか？
- 共通の事前分布が、各グループの推定値を全体平均に向かって引き寄せるためです。この引き寄せの量は、そのグループのデータのノイズの多さに依存し、ノイズの多いグループほど大きく縮小され、これにより全体的な誤差が減少します。