群の表現

群の表現は、群の要素をベクトル空間の可逆線形変換として実現し、群論を線形代数に変換し、指標を通じて構造を明らかにします。

Definition

ベクトル空間 V 上の群 G の表現とは、G から V 上の可逆線形作用素の群への準同型写像であり、同等に G の群環上の加群でもあります。

Scope

このトピックでは、表現とその同値性、既約表現、完全可約性に関するマシュケの定理、シューアの補題、指標と直交関係、および標数ゼロの体上の表現の分解について扱います。これは有限群の表現論への入り口となります。

Core questions

• 群はどのようにしてベクトル空間に作用する行列によってモデル化できるのでしょうか？
• 表現はいつ既約な部分に分解されるのでしょうか？
• 表現の指標によってどのような情報が捉えられるのでしょうか？
• 直交関係は有限群の既約表現をどのように分類するのでしょうか？

Key theories

マシュケの定理

群の位数を割り切らない標数を持つ体上では、有限群のすべての表現は完全可約であり、既約表現の直和として分解されます。

シューアの補題

既約表現間の任意の準同型写像はゼロであるか同型写像であり、代数的に閉じた体上では既約表現の自己準同型写像はスカラーであり、これは指標理論の基礎となります。

指標の直交関係

有限群の既約複素表現の指標は、類関数の空間の正規直交基底を形成するため、既約表現の数は共役類の数に等しく、すべての表現はその指標によって決定されます。

Clinical relevance

表現論は、線形代数を通じて有限群を計算可能にし、量子力学や分光法（対称性適応基底と選択則）、結晶学、物理学における対称性の解析、さらにはガロア群に付随する表現を通じた数論において不可欠です。

History

フロベニウスは1890年代に有限群の指標と表現を導入し、シューア、バーンサイド、ワイルがこの理論を強力な構造的ツールへと発展させました。マシュケの定理と直交関係は、この主題に今日教えられている形を与え、対称性の物理学と結びつけました。

Key figures

• Georg Frobenius
• Issai Schur
• William Burnside
• Hermann Weyl

Seminal works

• serre1977
• dummit2004
• lang2002

Frequently asked questions

なぜ群をあえて行列で表現するのでしょうか？

線形代数は抽象群論よりもはるかに計算可能であり、指標は表現を単一の類関数に還元します。フロベニウスの指標理論により、数学者は、2つの素数のみで割り切れる位数の群に関するバーンサイドの定理など、他の方法では到達できなかった深い結果を証明することができました。

表現が既約であるとはどういう意味ですか？

既約表現とは、すべての群要素によって保存される真のゼロでない部分空間を持たないものであり、構成要素です。マシュケの定理は、良い標数においてはすべての表現がこれらの構成要素の直和であることを述べています。