フォック空間と占有数

フォック空間は、粒子数が可変な同一粒子の系の量子状態空間であり、各単一粒子モードを占める粒子の数、すなわち占有数を列挙するだけで状態が指定されます。

Definition

フォック空間は、各単一粒子モードの確定した占有数の状態によって張られるヒルベルト空間であり、真空からそれ以上のすべての粒子数を含み、ボソンに対しては対称な占有、フェルミオンに対してはゼロまたは1に制限された占有を特徴とします。

Scope

このトピックでは、フォック空間が対称化または反対称化された多粒子空間の直和として構築されること、粒子が存在しない真空状態、モードの個体数によって状態をラベル付けする占有数基底、フェルミオンの占有数がゼロまたは1に制限されること、各モードの粒子数を数える数演算子、およびフォック空間が第二量子化の場としての役割を果たすことについて扱います。

Core questions

• フォック空間は単一粒子状態からどのように構築されますか？
• 占有数表示とは何ですか、またなぜ便利なのでしょうか？
• ボソンとフェルミオンの占有数はどのように異なりますか？
• この表示において数演算子は何を測定しますか？

Key concepts

• フォック空間
• 真空状態
• 占有数基底
• 数演算子
• 粒子数保存
• 多体ヒルベルト空間

Key theories

占有数基底

同一粒子は区別できないため、多粒子状態は各モードに存在する粒子の数によって完全に指定されます。したがって、自然な基底は真空状態に基づいて構築された占有数を列挙し、必要な交換対称性を自動的に尊重します。

ボソンとフェルミオンの占有

ボソンモードは任意の数の粒子を保持できますが、フェルミオンモードは排他原理によりゼロまたは1に制限されます。各モードの数演算子はその占有数を返し、可変粒子数のシステムに対して統一された記録を提供します。

Clinical relevance

フォック空間は、多体理論や場の理論の作業設定であり、量子光学における光子、固体におけるフォノンや電子励起、量子場の理論における粒子生成を記述します。また、占有数表示は、量子ガスや格子モデルが定式化され計算される方法でもあります。

History

フォックは、可変粒子数を扱うために1932年に彼にちなんで名付けられた空間を導入しました。これはディラックとジョルダンの場の量子化から発展し、多体物理学と量子場の理論の標準的な枠組みとなりました。

Key figures

• Vladimir Fock
• Paul Dirac
• Pascual Jordan
• Eugene Wigner

Seminal works

• fetterwalecka2003
• sakurai2017

Frequently asked questions

なぜ多粒子系では波動関数の代わりに占有数を使用するのですか？

同一粒子はラベル付けできないため、どの粒子がどこにあるかを追跡することは無意味です。各モードを占める粒子の数だけを列挙することで、すべての物理情報が捉えられ、正しい対称性が自動的に組み込まれるため、多体計算が大幅に簡素化されます。

フェルミオンの占有数がゼロまたは1に制限されるのはなぜですか？

パウリの排他原理により、2つの同一フェルミオンが単一粒子状態を共有することは禁じられているため、各フェルミオンモードは空であるか、または単一粒子によって占有されるかのいずれかであり、任意の占有を許容するボソンモードとは異なります。