キャリア統計とドーピング

電子と正孔の平衡濃度は状態密度とフェルミ・ディラック統計から導かれるため、ドーピングによって固定されるフェルミ準位の位置が半導体のキャリア数を決定します。

Definition

キャリア統計とは、バンドの状態密度とフェルミ・ディラック占有率から平衡状態の電子および正孔濃度を決定することです。ドーピングはフェルミ準位をシフトさせ、電荷中性の条件の下で、電子と正孔の濃度の積が質量作用の法則によって一定に保たれるようにします。

Scope

このトピックでは、半導体におけるキャリアの定量的統計について展開します。具体的には、伝導帯と価電子帯における有効状態密度、フェルミ・ディラック統計とボルツマン統計（非縮退近似）、フェルミ準位の関数としての電子および正孔濃度、質量作用の法則、そしてドーパント濃度が与えられた場合にフェルミ準位を固定する電荷中性条件について扱います。これにより、定性的なドーピングの概念を定量化し、デバイス物理学で用いられるキャリア密度を提供します。

Core questions

• 状態密度とフェルミ・ディラック統計は、どのように平衡キャリア濃度を与えるのでしょうか？
• 非縮退ボルツマン近似はいつ有効であり、いつ完全なフェルミ・ディラック統計を使用する必要があるのでしょうか？
• 質量作用の法則とは何ですか、そしてキャリアの積が一定に保たれるのはなぜですか？
• 電荷中性は、与えられたドーピングに対してフェルミ準位の位置をどのように固定するのでしょうか？

Key concepts

• 有効状態密度
• フェルミ・ディラック統計とボルツマン統計
• 質量作用の法則
• 電荷中性条件
• フェルミ準位の位置と縮退

Key theories

キャリアの質量作用の法則

熱平衡状態では、電子と正孔の濃度の積は真性キャリア濃度の2乗に等しく、ドーピングに依存しません。したがって、ドーピングによって一方のキャリアタイプを増加させると、必然的にもう一方のキャリアタイプは抑制されます。

Clinical relevance

定量的なキャリア統計により、エンジニアはドーピングプロファイルからデバイスの導電率、内蔵電位、および動作特性を計算できます。ここで展開されるフェルミ準位の計算は、接合部、トランジスタ、および集積回路製造におけるドーピングスケジュールの設計に不可欠です。

History

1926年に定式化されたフェルミ・ディラック統計は、1930年代から1940年代にかけてウィルソン、ショックレーらによって開発された半導体におけるキャリアの平衡理論の基礎となりました。これは、1950年のショックレーの半導体に関する論文で体系化された定量的基盤を提供しました。

Key figures

• Enrico Fermi
• Paul Dirac
• William Shockley

Seminal works

• sze2007
• ashcroft1976

Frequently asked questions

電子と正孔の濃度の積が一定に保たれるのはなぜですか？

平衡状態では、生成と再結合が釣り合っており、これが2つの濃度を結びつけます。その結果である質量作用の法則は、与えられた温度において、ドーピングに関わらず積を真性濃度（intrinsic concentration）の2乗に等しく保ちます。

ドーピングはどのようにフェルミ準位を移動させますか？

ドナーを追加すると電子が供給され、フェルミ準位は伝導帯に向かって押し上げられます。アクセプターを追加すると正孔が生成され、フェルミ準位は価電子帯に向かって押し下げられます。電荷中性により、与えられたドーパント濃度に対して正確な位置が固定されます。