共分散と相関

共分散は2つの変数がどの程度一緒に変動するかを測定し、相関はその共同変動を-1から+1の間の係数に再調整し、測定単位に依存せずに線形関連の強さと方向を捉えます。相関は、健康研究において2つの連続量間の関係を記述するために使用される最初のツールの1つです。

Definition

共分散は、2つの変数の平均からの偏差の積の平均です。相関は、共分散を2つの標準偏差の積で割ったものであり、-1から+1の間の無単位の係数となり、線形関連の強さと方向を定量化します。

Scope

この項目では、共分散とその標準化された形式であるピアソン積率相関係数、単調関連のための順位ベースのスピルマン相関、および一般的な注意点について説明します。相関は因果関係ではなく関連を記述すること、線形（または単調）関係のみを反映すること、そして一致とは異なることです。これは方法論的なトピックであり、臨床的ガイダンスではありません。

Core questions

• 2つの変数の共同変動はどのように単一の数値に要約されますか？
• 与えられた大きさの相関係数は何を意味し、その符号は何を示しますか？
• ピアソン係数ではなく、順位ベースの（スピルマン）係数はいつ使用すべきですか？
• なぜ相関は因果関係を意味せず、なぜ一致と同じではないのですか？

Key concepts

• 共分散
• ピアソン積率相関係数
• スピルマン順位相関
• 標準化と単位なし測定
• 線形対単調関連
• 相関は因果関係ではない
• 相関対一致

Mechanisms

共分散は、各変数の平均からの対になった偏差の積を累積します。一方の変数の高い値が他方の変数の高い値と伴う傾向がある場合は正になり、逆方向に動く場合は負になりますが、その大きさは単位に依存します。2つの標準偏差で割ることにより、単位が除去され、結果は-1から+1の間に収まり、厳密に線形な関連を捉えるピアソン相関係数が生成されます。関係が単調ではあるが線形ではない場合、またはデータが順序尺度であるか非正規分布である場合は、代わりにスピルマン係数（順位に適用されたピアソン係数）が使用されます。相関がゼロに近い場合、線形関連がないことを示しますが、非線形関係を排除するものではありません。

Clinical relevance

相関係数は、研究者が2つの臨床測定値がどのように一緒に変動するかを記述する際に日常的に報告されます。評価における重要な注意点は、2つの測定方法間の高い相関がそれらが一致することを意味するわけではないということです。なぜなら、2つの機器は強く相関していても系統的に異なる可能性があるためです。一致は、一致限界分析などの他のアプローチによって評価されます。この項目は方法を記述するものであり、個々の臨床的決定の根拠となるものではありません。

Evidence & guidelines

標準的な医療統計の教科書やBMJのStatistics Notesシリーズでは、相関の報告と解釈の方法が示されており、方法比較研究におけるBland-Altmanの一致限界アプローチの動機となった相関と一致の区別も含まれています。

History

相関係数は、フランシス・ゴルトン（Francis Galton）の遺伝に関する研究から発展し、19世紀末にカール・ピアソン（Karl Pearson）によって形式化されました。チャールズ・スピルマン（Charles Spearman）は、値の順序のみが信頼できる状況のために、1904年に順位ベースの係数を導入しました。20世紀後半には、ブランド（Bland）とアルトマン（Altman）が相関と一致の間に明確で影響力のある区別を設け、方法比較研究の分析方法を再構築しました。

Debates

高い相関は2つの測定方法が一致することを示しますか？

いいえ。2つの方法は系統的に異なりながらも高く相関する可能性があるため、相関は一致の不適切な尺度です。ブランドとアルトマンは、代わりに一致限界分析を提唱し、この立場は現在、方法比較研究で標準となっています。

Key figures

• Francis Galton
• Karl Pearson
• Charles Spearman
• Douglas Altman
• Martin Bland

Seminal works

• spearman-1904
• bland-altman-1986

Frequently asked questions

共分散と相関の違いは何ですか？

共分散は2つの変数がどの程度一緒に変動するかを測定しますが、その大きさは単位に依存するため、直接解釈することは困難です。相関は、共分散を2つの標準偏差で標準化することにより、-1から+1の間の無単位の係数を生成し、変数間で比較可能です。

ピアソン相関ではなく、スピルマン相関はいつ使用すべきですか？

スピルマン相関は順位に基づいて機能し、関係が単調ではあるが線形ではない場合、データが順序尺度である場合、または外れ値や非正規分布がピアソン係数を歪める可能性がある場合に推奨されます。