Resiprositas Kuadratik

Hukum resiprositas kuadratik, yang oleh Gauss disebut teorema emas, mengaitkan apakah suatu bilangan prima p adalah kuadrat modulo q dengan apakah q adalah kuadrat modulo p, memberikan kriteria yang kuat dan simetris secara tak terduga untuk keterpecahan.

Definition

Sebuah bilangan bulat adalah residu kuadratik modulo bilangan prima p jika kongruen dengan kuadrat sempurna mod p. Resiprositas kuadratik adalah teorema yang mengaitkan, untuk bilangan prima ganjil p dan q yang berbeda, keterpecahan x kuadrat kongruen dengan q mod p dengan x kuadrat kongruen dengan p mod q.

Scope

Topik ini mencakup residu kuadratik dan non-residu modulo bilangan prima, kriteria Euler, simbol Legendre dan multiplikativitasnya, simbol Jacobi, dua hukum tambahan (untuk minus satu dan untuk dua), dan hukum resiprositas utama itu sendiri, termasuk perannya sebagai contoh pertama dari hukum resiprositas teori medan kelas.

Core questions

• Mengingat bilangan prima ganjil p, residu mana yang merupakan kuadrat, dan bagaimana kriteria Euler memutuskan hal ini?
• Bagaimana simbol Legendre dan Jacobi mengkodekan informasi residu dan berperilaku secara multiplikatif?
• Apa sebenarnya yang ditegaskan oleh hukum resiprositas, dan bagaimana suplemen menangani minus satu dan dua?
• Mengapa resiprositas kuadratik dianggap sebagai prototipe hukum resiprositas yang lebih tinggi dari teori medan kelas?

Key theories

Kriteria Euler dan simbol Legendre

Bilangan bulat a adalah residu kuadratik mod bilangan prima ganjil p tepat ketika a dipangkatkan (p minus satu)/2 kongruen dengan satu; simbol Legendre mencatat tanda ini dan sepenuhnya multiplikatif dalam argumen atasnya.

Hukum resiprositas kuadratik

Untuk bilangan prima ganjil p dan q yang berbeda, hasil kali kedua simbol Legendre sama dengan minus satu dipangkatkan ((p minus satu)/2)((q minus satu)/2), sehingga resiprositas hanya gagal ketika kedua bilangan prima kongruen dengan tiga mod empat.

Hukum tambahan dan simbol Jacobi

Aturan terpisah menentukan kapan minus satu dan dua adalah residu, dan simbol Jacobi memperluas simbol Legendre ke modulus komposit, memungkinkan perhitungan yang efisien tanpa faktorisasi.

Clinical relevance

Resiprositas dan simbol Jacobi memberikan algoritma cepat untuk memutuskan residu kuadratik, yang digunakan dalam uji primalitas (Solovay-Strassen), dalam menghitung akar kuadrat modulo bilangan prima, dan dalam skema kriptografi yang keamanannya bergantung pada asumsi residu kuadratik.

History

Dikonjekturkan oleh Euler dan Legendre, hukum ini pertama kali dibuktikan sepenuhnya oleh Gauss pada tahun 1796, yang berulang kali kembali kepadanya dan memberikan delapan bukti berbeda; lebih dari dua ratus bukti kini telah diketahui. Generalisasinya ke pangkat yang lebih tinggi memotivasi Eisenstein, Kummer, dan pada akhirnya hukum resiprositas teori medan kelas.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

Mengapa Gauss membuktikan teorema yang sama delapan kali?

Setiap bukti menerangi struktur yang berbeda (jumlah Gauss, penghitungan titik kisi, siklotomi), dan Gauss mencari bukti yang akan menggeneralisasi ke hukum resiprositas yang lebih tinggi, yang kemudian mendorong perkembangan teori bilangan aljabar.

Apa perbedaan antara simbol Legendre dan Jacobi?

Simbol Legendre didefinisikan untuk modulus prima ganjil dan mendeteksi residu kuadratik secara tepat; simbol Jacobi menggeneralisasikannya ke modulus komposit ganjil untuk perhitungan, tetapi nilai satu tidak lagi menjamin bilangan tersebut adalah residu.