Teorema Terakhir Fermat

Teorema Terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak ada tiga bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan a pangkat n ditambah b pangkat n sama dengan c pangkat n untuk eksponen n lebih besar dari dua — sebuah klaim yang tidak terbukti selama lebih dari tiga abad hingga akhirnya diselesaikan melalui modularitas kurva elips.

Definition

Teorema Terakhir Fermat adalah pernyataan bahwa persamaan x pangkat n ditambah y pangkat n sama dengan z pangkat n tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif x, y, z setiap kali eksponen bilangan bulat n lebih besar dari dua.

Scope

Topik ini mencakup pernyataan Teorema Terakhir Fermat, reduksinya ke eksponen prima dan ke kurva Fermat, kemajuan Kummer pada abad kesembilan belas menggunakan bilangan ideal dan bilangan prima reguler, kurva Frey yang terkait dengan solusi hipotetis, konjektur epsilon yang dibuktikan oleh Ribet yang menghubungkannya dengan modularitas, dan bukti Wiles tentang modularitas kurva elips semistabil yang menutup argumen tersebut.

Core questions

• Mengapa cukup membuktikan teorema untuk eksponen prima dan untuk eksponen empat?
• Seberapa jauh metode klasik, terutama teori bilangan ideal dan bilangan prima reguler Kummer, memajukan masalah ini?
• Bagaimana kurva Frey mengubah solusi hipotetis Fermat menjadi kurva elips dengan sifat-sifat yang mustahil?
• Bagaimana teorema Ribet dan teorema modularitas bergabung untuk melengkapi bukti?

Key theories

Bilangan prima reguler Kummer

Kummer membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua eksponen prima reguler menggunakan bilangan ideal, memperkenalkan mekanisme grup kelas teori bilangan aljabar dalam prosesnya.

Kurva Frey dan teorema Ribet

Solusi Fermat nontrivial akan menghasilkan kurva elips Frey, yang dibuktikan oleh Ribet tidak dapat modular; sehingga modularitas kurva semacam itu akan memaksa persamaan Fermat tidak memiliki solusi.

Teorema modularitas (Wiles-Taylor)

Wiles, bersama Taylor, membuktikan bahwa kurva elips rasional semistabil adalah modular, yang bertentangan dengan keberadaan kurva Frey dan dengan demikian membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

Clinical relevance

Meskipun teorema itu sendiri tidak memiliki aplikasi langsung, mekanisme pembuktiannya — representasi Galois, teori deformasi, dan pengangkatan modularitas — menjadi teknologi inti dalam program Langlands dan dalam metode aritmetika-geometri yang juga menginformasikan kriptografi kurva elips.

History

Fermat mencatat klaim tersebut sekitar tahun 1637 di margin salinan bukunya Diophantus, menyatakan sebuah bukti yang tidak pernah ia tulis. Euler, Sophie Germain, dan Kummer menyelesaikan banyak kasus selama dua abad berikutnya; Frey, Serre, dan Ribet mereduksinya ke modularitas pada tahun 1980-an, dan Wiles mengumumkan bukti pada tahun 1993, diselesaikan bersama Taylor pada tahun 1994 dan diterbitkan pada tahun 1995.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

Apakah Fermat benar-benar memiliki bukti?

Hampir pasti bukan bukti umum yang benar. Metode yang dibutuhkan baru dikembangkan pada abad kedua puluh, dan argumen abad ketujuh belas mana pun akan bergantung pada asumsi, seperti faktorisasi unik, yang gagal dalam gelanggang yang relevan.

Bagaimana persamaan tentang pangkat berhubungan dengan kurva elips?

Solusi hipotetis dapat dikemas ke dalam kurva elips Frey; sifat-sifat aritmetikanya akan bertentangan dengan teorema modularitas, sehingga modularitas kurva elips memaksa persamaan asli tidak dapat dipecahkan.