Transformasi Linear

Transformasi linear adalah pemetaan antara ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan dan perkalian skalar, yaitu morfisme aljabar linear yang direpresentasikan oleh matriks setelah basis dipilih.

Definition

Transformasi linear antara ruang vektor di atas medan yang sama adalah fungsi yang menghormati penjumlahan vektor dan perkalian skalar, sehingga citra dari kombinasi linear adalah kombinasi linear yang sesuai dari citra.

Scope

Topik ini mencakup peta linear serta kernel dan citranya, teorema rank-nullity, matriks dari peta linear relatif terhadap basis, perubahan basis, komposisi dan invertibilitas, serta korespondensi antara peta linear abstrak dan matriks.

Core questions

• Apa artinya suatu peta bersifat linear?
• Bagaimana kernel dan citra mengukur injektivitas dan surjektivitas?
• Bagaimana transformasi linear direpresentasikan oleh matriks, dan bagaimana matriks tersebut berubah dengan basis?
• Kapan suatu transformasi linear dapat dibalik (invertible)?

Key theories

Teorema Rank-Nullity

Untuk peta linear antara ruang berdimensi hingga, dimensi domain sama dengan dimensi citra ditambah dimensi kernel, yang mengaitkan injektivitas, surjektivitas, dan keterpecahan sistem linear.

Representasi matriks dan perubahan basis

Pemilihan basis merepresentasikan peta linear dengan matriks, komposisi berkorespondensi dengan perkalian matriks, dan perubahan basis mengkonjugasi matriks, sehingga matriks serupa merepresentasikan operator yang sama dalam koordinat yang berbeda.

Isomorfisme dengan matriks

Ruang peta linear antara ruang berdimensi hingga isomorfik dengan ruang matriks, membuat sudut pandang abstrak dan konkret dapat dipertukarkan dan mereduksi aljabar linear menjadi komputasi matriks.

Clinical relevance

Transformasi linear memodelkan rotasi, proyeksi, dan penskalaan dalam geometri dan grafika, observabel dan evolusi waktu dalam mekanika kuantum, serta lapisan-lapisan peta linear di dalam jaringan saraf. Teorema rank-nullity mengatur keterpecahan setiap sistem linear yang ditemui dalam aplikasi.

History

Kalkulus matriks Cayley dan Sylvester memberikan representasi konkret pada peta linear pada pertengahan abad kesembilan belas, sementara Grassmann dan Peano memberikan pandangan abstrak, bebas koordinat tentang peta linear antara ruang vektor yang mendasari teori modern.

Key figures

• Arthur Cayley
• James Joseph Sylvester
• Hermann Grassmann
• Giuseppe Peano

Seminal works

• hoffman1971
• roman2008
• lang2002

Frequently asked questions

Mengapa peta linear yang sama direpresentasikan oleh matriks yang berbeda?

Suatu matriks bergantung pada pilihan basis untuk domain dan kodomain. Perubahan basis mengkonjugasi matriks, sehingga operator linear tunggal berkorespondensi dengan seluruh kelas kesamaan matriks, itulah sebabnya bentuk kanonik berguna.

Apa yang dijelaskan oleh teorema rank-nullity?

Teorema ini menyatakan bahwa dimensi kernel dan citra jika dijumlahkan akan sama dengan dimensi domain. Hal ini secara langsung menentukan kapan suatu sistem linear memiliki solusi dan seberapa besar himpunan solusinya, serta kapan suatu peta bersifat injektif atau surjektif.