Apa itu model nonstandar aritmetika?

Dengan kekompakan, seseorang dapat menambahkan ke aksioma aritmetika sebuah konstanta yang lebih besar dari setiap numeral; teori konsisten yang dihasilkan memiliki model yang mengandung elemen tak hingga di luar bilangan asli standar. Model-model tersebut memenuhi kalimat tingkat pertama yang persis sama dengan yang standar.

Apa itu paradoks Skolem?

Teorema Loewenheim-Skolem ke bawah memberikan model terhitung dari teori himpunan, meskipun teori tersebut membuktikan bahwa himpunan tak terhitung itu ada. Resolusinya adalah bahwa ketakterhitungan bersifat relatif terhadap model: suatu himpunan yang dianggap tak terhitung oleh model tidak memiliki bijeksi dengan bilangan asli di dalam model, meskipun bijeksi tersebut ada secara eksternal.

Teorema Kekompakan dan Loewenheim-Skolem

Teorema kekompakan dan Loewenheim-Skolem adalah dua hasil fundamental yang mengatur struktur apa yang dapat dijelaskan oleh teori tingkat pertama, mengungkapkan kekuatan dan keterbatasan inheren dari logika tingkat pertama.

Temukan Topik dengan PaperMindSegeraFind papers & topics

Tools & resources

Unduh salindia

Learn & explore

VideoSegera

Definition

Teorema kekompakan menyatakan bahwa suatu himpunan kalimat tingkat pertama dapat dipenuhi jika dan hanya jika setiap subhimpunan finitnya dapat dipenuhi; teorema Loewenheim-Skolem menyatakan bahwa setiap teori tingkat pertama dengan model tak hingga memiliki model dalam setiap kardinalitas tak hingga setidaknya sebesar bahasanya.

Scope

Topik ini mencakup teorema kekompakan dan pembuktiannya melalui kelengkapan atau ultraproduk, teorema Loewenheim-Skolem ke bawah dan ke atas mengenai kardinalitas model, konsekuensi standarnya termasuk keberadaan model nonstandar aritmetika dan analisis, serta paradoks Skolem.

Core questions

Mengapa keterpenuhan finit suatu teori menjamin adanya model?
Bagaimana teorema-teorema ini menghasilkan model nonstandar aritmetika dan bilangan real?
Mengapa tidak ada teori tingkat pertama yang dapat mengkarakterisasi struktur tak hingga hingga kardinalitas?
Apa itu paradoks Skolem dan bagaimana cara menyelesaikannya?

Key theories

Teorema kekompakan: Jika setiap subhimpunan finit dari suatu himpunan kalimat memiliki model, maka seluruh himpunan tersebut memiliki model; ini mengikuti dari kelengkapan atau dapat dibuktikan secara semantik dengan ultraproduk.
Teorema Loewenheim-Skolem ke bawah: Setiap struktur tak hingga memiliki substruktur elementer dengan kardinalitas paling banyak sebesar bahasanya, sehingga teori terhitung dengan model tak hingga memiliki model terhitung.
Teorema Loewenheim-Skolem ke atas: Setiap model tak hingga dapat diperluas secara elementer ke model dengan setiap kardinalitas yang lebih besar, sehingga teori tingkat pertama tidak dapat menetapkan ukuran model tak hingganya.

Clinical relevance

Teorema-teorema ini adalah tulang punggung teori model: kekompakan digunakan untuk membangun model nonstandar yang membuktikan atau mentransfer hasil, dan teorema Loewenheim-Skolem menjelaskan mengapa aksiomatisasi tingkat pertama dari bilangan asli atau bilangan real selalu mengakui model yang tidak diinginkan, membentuk pilihan kerangka kerja logis.

History

Loewenheim membuktikan versi teorema ke bawah pada tahun 1915 dan Skolem menggeneralisasi serta mempertajamnya sepanjang tahun 1920-an. Kekompakan diperoleh oleh Goedel sebagai korolari dari kelengkapan dan diperluas ke bahasa tak terhitung oleh Maltsev, yang pertama kali memanfaatkannya untuk menurunkan teorema aljabar, membuka jalan bagi teori model terapan.

Key figures

Leopold Loewenheim
Thoralf Skolem
Kurt Goedel
Anatoly Maltsev

Seminal works

changkeisler1990
marker2002
hodges1993

Frequently asked questions

Apa itu model nonstandar aritmetika?: Dengan kekompakan, seseorang dapat menambahkan ke aksioma aritmetika sebuah konstanta yang lebih besar dari setiap numeral; teori konsisten yang dihasilkan memiliki model yang mengandung elemen tak hingga di luar bilangan asli standar. Model-model tersebut memenuhi kalimat tingkat pertama yang persis sama dengan yang standar.
Apa itu paradoks Skolem?: Teorema Loewenheim-Skolem ke bawah memberikan model terhitung dari teori himpunan, meskipun teori tersebut membuktikan bahwa himpunan tak terhitung itu ada. Resolusinya adalah bahwa ketakterhitungan bersifat relatif terhadap model: suatu himpunan yang dianggap tak terhitung oleh model tidak memiliki bijeksi dengan bilangan asli di dalam model, meskipun bijeksi tersebut ada secara eksternal.