द्विघात पारस्परिकता

द्विघात पारस्परिकता का नियम, जिसे गॉस ने सुनहरा प्रमेय कहा था, यह बताता है कि क्या एक अभाज्य संख्या p, q के सापेक्ष एक वर्ग है, और क्या q, p के सापेक्ष एक वर्ग है, जो हल करने की क्षमता के लिए एक शक्तिशाली और अप्रत्याशित रूप से सममित मानदंड प्रदान करता है।

Definition

एक पूर्णांक एक अभाज्य संख्या p के सापेक्ष एक द्विघात अवशेष है यदि यह p के सापेक्ष एक पूर्ण वर्ग के अनुरूप है। द्विघात पारस्परिकता एक प्रमेय है जो भिन्न विषम अभाज्य संख्याओं p और q के लिए, x वर्ग के q के सापेक्ष p के अनुरूप होने की हल करने की क्षमता को x वर्ग के p के सापेक्ष q के अनुरूप होने की हल करने की क्षमता से संबंधित करता है।

Scope

यह विषय एक अभाज्य संख्या के सापेक्ष द्विघात अवशेषों और गैर-अवशेषों, यूलर के मानदंड, लेजेंड्रे प्रतीक और उसकी गुणनात्मकता, जैकोबी प्रतीक, दो पूरक नियम (ऋण एक और दो के लिए), और मुख्य पारस्परिकता नियम को शामिल करता है, जिसमें वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के पारस्परिकता नियमों के पहले उदाहरण के रूप में इसकी भूमिका भी शामिल है।

Core questions

• एक विषम अभाज्य संख्या p दिए जाने पर, कौन से अवशेष वर्ग होते हैं, और यूलर का मानदंड इसे कैसे निर्धारित करता है?
• लेजेंड्रे और जैकोबी प्रतीक अवशेष जानकारी को कैसे एन्कोड करते हैं और गुणनात्मक रूप से कैसे व्यवहार करते हैं?
• पारस्परिकता नियम वास्तव में क्या कहता है, और पूरक नियम ऋण एक और दो को कैसे संभालते हैं?
• द्विघात पारस्परिकता को वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के उच्च पारस्परिकता नियमों का प्रोटोटाइप क्यों माना जाता है?

Key theories

यूलर का मानदंड और लेजेंड्रे प्रतीक

एक पूर्णांक a एक विषम अभाज्य संख्या p के सापेक्ष एक द्विघात अवशेष है, ठीक तभी जब a की घात (p ऋण एक)/2, एक के अनुरूप हो; लेजेंड्रे प्रतीक इस चिह्न को रिकॉर्ड करता है और अपने शीर्ष तर्क में पूरी तरह से गुणनात्मक होता है।

द्विघात पारस्परिकता का नियम

भिन्न विषम अभाज्य संख्याओं p और q के लिए, दो लेजेंड्रे प्रतीकों का गुणनफल ऋण एक की घात ((p ऋण एक)/2)((q ऋण एक)/2) के बराबर होता है, इसलिए पारस्परिकता केवल तभी विफल होती है जब दोनों अभाज्य संख्याएँ चार के सापेक्ष तीन के अनुरूप हों।

पूरक नियम और जैकोबी प्रतीक

अलग-अलग नियम यह निर्धारित करते हैं कि ऋण एक और दो कब अवशेष होते हैं, और जैकोबी प्रतीक लेजेंड्रे प्रतीक को संयुक्त मापांक तक विस्तारित करता है, जिससे गुणनखंडन के बिना कुशल गणना संभव होती है।

Clinical relevance

पारस्परिकता और जैकोबी प्रतीक द्विघात अवशेषिता का निर्णय लेने के लिए तेज़ एल्गोरिदम प्रदान करते हैं, जिनका उपयोग अभाज्यता परीक्षणों (सोलोवे-स्ट्रासेन), अभाज्य संख्याओं के सापेक्ष वर्गमूलों की गणना में, और क्रिप्टोग्राफिक योजनाओं में किया जाता है जिनकी सुरक्षा द्विघात अवशेषिता धारणा पर निर्भर करती है।

History

यूलर और लेजेंड्रे द्वारा अनुमानित, इस नियम को पहली बार 1796 में गॉस द्वारा पूरी तरह से सिद्ध किया गया था, जिन्होंने इस पर बार-बार काम किया और आठ अलग-अलग प्रमाण दिए; अब दो सौ से अधिक प्रमाण ज्ञात हैं। उच्च घातों के लिए इसके सामान्यीकरण ने आइज़ेंस्टीन, कुमेर, और अंततः वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के पारस्परिकता नियमों को प्रेरित किया।

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

गॉस ने एक ही प्रमेय को आठ बार क्यों सिद्ध किया?

प्रत्येक प्रमाण ने विभिन्न संरचनाओं (गॉस योग, जाली-बिंदु गणना, साइक्लोटॉमी) को प्रकाशित किया, और गॉस ने एक ऐसा प्रमाण मांगा जो उच्च पारस्परिकता नियमों के लिए सामान्यीकृत हो सके, जिसने बाद में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के विकास को प्रेरित किया।

लेजेंड्रे और जैकोबी प्रतीकों में क्या अंतर है?

लेजेंड्रे प्रतीक एक विषम अभाज्य मापांक के लिए परिभाषित किया गया है और द्विघात अवशेषों का ठीक-ठीक पता लगाता है; जैकोबी प्रतीक इसे गणना के लिए विषम संयुक्त मापांक तक सामान्यीकृत करता है, लेकिन एक का मान अब यह गारंटी नहीं देता है कि संख्या एक अवशेष है।