क्लास फील्ड थ्योरी

क्लास फील्ड थ्योरी बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की एक महत्वपूर्ण उपलब्धि है: यह एक संख्या क्षेत्र के सभी एबेलियन विस्तारों को क्षेत्र के अपने अंकगणित के संदर्भ में वर्गीकृत करती है, जो द्विघात पारस्परिकता को एक व्यापक पारस्परिकता नियम तक सामान्यीकृत करती है।

Definition

क्लास फील्ड थ्योरी एक संख्या क्षेत्र के परिमित एबेलियन विस्तारों और उसके आइडेल क्लास समूह (या सामान्यीकृत आदर्श वर्ग समूहों) के कुछ भागफल समूहों के बीच एक पत्राचार स्थापित करती है, जिसमें आर्टिन पारस्परिकता मानचित्र प्रत्येक विस्तार के गैलोज़ समूह पर एक विहित समरूपता प्रदान करता है।

Scope

यह विषय क्लास फील्ड थ्योरी के मुख्य प्रमेयों को उनके शास्त्रीय और आइडेलिक सूत्रों में शामिल करता है: आर्टिन पारस्परिकता नियम और सामान्यीकृत आदर्श वर्ग समूहों से गैलोज़ समूहों तक आर्टिन मानचित्र, एबेलियन विस्तारों के अनुरूप सर्वांगसमता उपसमूहों से मेल खाने वाला अस्तित्व प्रमेय, कंडक्टर, अधिकतम अपरिवर्तित एबेलियन विस्तार के रूप में हिल्बर्ट क्लास फील्ड, साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के भीतर परिमेय संख्याओं के एबेलियन विस्तारों को साकार करने वाला क्रोनकर-वेबर प्रमेय, और स्थानीय क्लास फील्ड थ्योरी की भूमिका।

Core questions

• आर्टिन मानचित्र अंकगणितीय डेटा को गैलोज़ ऑटोमोर्फिज्म में कैसे भेजता है, और यह एक पारस्परिकता नियम क्यों है?
• आइडेल क्लास समूह के कौन से उपसमूह किन एबेलियन विस्तारों के अनुरूप हैं (अस्तित्व प्रमेय)?
• हिल्बर्ट क्लास फील्ड क्या है, और इसका गैलोज़ समूह आदर्श क्लास समूह को कैसे पुनर्प्राप्त करता है?
• क्रोनकर-वेबर प्रमेय परिमेय संख्याओं के प्रत्येक एबेलियन विस्तार का वर्णन कैसे करता है?

Key theories

आर्टिन पारस्परिकता

एक एबेलियन विस्तार के लिए, प्रत्येक अपरिवर्तित अभाज्य को उसके फ्रोबेनियस में भेजने वाला आर्टिन मानचित्र एक सामान्यीकृत आदर्श क्लास समूह से गैलोज़ समूह तक एक समरूपता तक फैलता है, जो द्विघात पारस्परिकता का एक विशाल सामान्यीकरण है।

अस्तित्व प्रमेय और हिल्बर्ट क्लास फील्ड

आइडेल क्लास समूह में परिमित सूचकांक का प्रत्येक खुला उपसमूह एक अद्वितीय एबेलियन विस्तार का मानदंड समूह है; हिल्बर्ट क्लास फील्ड अधिकतम अपरिवर्तित है, जिसमें गैलोज़ समूह विहित रूप से आदर्श क्लास समूह है।

क्रोनकर-वेबर प्रमेय

परिमेय संख्याओं का प्रत्येक परिमित एबेलियन विस्तार एकता की जड़ों द्वारा उत्पन्न एक साइक्लोटोमिक क्षेत्र में निहित है, जो स्पष्ट क्लास फील्ड थ्योरी का पहला और प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है।

Clinical relevance

क्लास फील्ड थ्योरी लैंग्लैंड्स प्रोग्राम और फर्मा के अंतिम प्रमेय के प्रमाण के पीछे मॉड्यूलरिटी परिणामों को फ्रेम करती है; जटिल गुणन सहित स्पष्ट रूप, अण्डाकार-वक्र और आइसोजेनी-आधारित क्रिप्टोग्राफी में उपयोग किए जाने वाले निर्माणों को भी संचालित करते हैं।

History

हिल्बर्ट ने क्लास फील्ड के अस्तित्व का अनुमान लगाया और 1900 के आसपास मार्गदर्शक समस्याओं को प्रस्तुत किया। ताकागी ने 1920 में अस्तित्व प्रमेय को सिद्ध किया, आर्टिन ने 1927 में पारस्परिकता नियम स्थापित किया, और 1930 के दशक में शेवाले द्वारा आइडेल के परिचय ने सिद्धांत को उसका आधुनिक एडेलिक रूप दिया, जिससे लैंग्लैंड्स प्रोग्राम के लिए मंच तैयार हुआ।

Key figures

• David Hilbert
• Teiji Takagi
• Emil Artin
• Helmut Hasse

Seminal works

• cox2013

Frequently asked questions

क्लास फील्ड थ्योरी द्विघात पारस्परिकता से कैसे संबंधित है?

द्विघात पारस्परिकता सबसे सरल मामला है: यह एक वर्गमूल को जोड़कर प्राप्त एबेलियन विस्तार का वर्णन करती है, और आर्टिन पारस्परिकता इसे किसी भी संख्या क्षेत्र के सभी एबेलियन विस्तारों तक सामान्यीकृत करती है।

हिल्बर्ट क्लास फील्ड क्या है?

यह एक संख्या क्षेत्र का सबसे बड़ा एबेलियन विस्तार है जो हर जगह अपरिवर्तित है; इसका गैलोज़ समूह स्वाभाविक रूप से क्षेत्र के आदर्श क्लास समूह के लिए समरूपी है, इसलिए इसकी डिग्री क्लास संख्या के बराबर होती है।