फर्मेट का अंतिम प्रमेय

फर्मेट का अंतिम प्रमेय यह दावा करता है कि कोई भी तीन धनात्मक पूर्णांक n के किसी भी घातांक के लिए समीकरण a की घात n जमा b की घात n बराबर c की घात n को संतुष्ट नहीं करते हैं, जहाँ n दो से अधिक है — यह दावा तीन शताब्दियों से अधिक समय तक अप्रमाणित रहा जब तक कि इसे दीर्घवृत्तीय वक्रों की मॉड्यूलरिटी के माध्यम से हल नहीं किया गया।

Definition

फर्मेट का अंतिम प्रमेय यह कथन है कि समीकरण x की घात n जमा y की घात n बराबर z की घात n का धनात्मक पूर्णांकों x, y, z में कोई समाधान नहीं है जब भी पूर्णांक घातांक n दो से अधिक हो।

Scope

यह विषय फर्मेट के अंतिम प्रमेय के कथन, इसके अभाज्य घातांकों और फर्मेट वक्र में कमी, कुम्मर की उन्नीसवीं सदी की आदर्श संख्याओं और नियमित अभाज्य संख्याओं का उपयोग करके प्रगति, एक काल्पनिक समाधान से जुड़े फ्रे वक्र, मॉड्यूलरिटी से जोड़ने वाले रिबेट द्वारा सिद्ध किए गए एप्सिलॉन अनुमान, और अर्ध-स्थिर दीर्घवृत्तीय वक्रों की मॉड्यूलरिटी के वाइल्स के प्रमाण को शामिल करता है जो तर्क को समाप्त करता है।

Core questions

• प्रमेय को अभाज्य घातांकों और घातांक चार के लिए सिद्ध करना क्यों पर्याप्त है?
• शास्त्रीय विधियों, विशेष रूप से कुम्मर के आदर्श संख्याओं और नियमित अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत ने समस्या को कितनी दूर तक आगे बढ़ाया?
• फ्रे वक्र एक काल्पनिक फर्मेट समाधान को असंभव गुणों वाले दीर्घवृत्तीय वक्र में कैसे बदलता है?
• रिबेट का प्रमेय और मॉड्यूलरिटी प्रमेय प्रमाण को पूरा करने के लिए कैसे संयोजित होते हैं?

Key theories

कुम्मर के नियमित अभाज्य

कुम्मर ने आदर्श संख्याओं का उपयोग करके सभी नियमित अभाज्य घातांकों के लिए फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया, इस प्रक्रिया में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की वर्ग समूह मशीनरी का परिचय दिया।

फ्रे वक्र और रिबेट का प्रमेय

एक गैर-तुच्छ फर्मेट समाधान फ्रे दीर्घवृत्तीय वक्र उत्पन्न करेगा, जिसे रिबेट ने सिद्ध किया कि मॉड्यूलर नहीं हो सकता; इस प्रकार ऐसे वक्रों की मॉड्यूलरिटी फर्मेट के समीकरण को कोई समाधान न होने के लिए मजबूर करेगी।

मॉड्यूलरिटी प्रमेय (वाइल्स-टेलर)

वाइल्स ने टेलर के साथ मिलकर सिद्ध किया कि अर्ध-स्थिर परिमेय दीर्घवृत्तीय वक्र मॉड्यूलर होते हैं, जो फ्रे वक्र के अस्तित्व का खंडन करता है और इस प्रकार फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध करता है।

Clinical relevance

हालांकि प्रमेय का स्वयं कोई सीधा अनुप्रयोग नहीं है, प्रमाण की मशीनरी — गैलोज़ निरूपण, विरूपण सिद्धांत और मॉड्यूलरिटी लिफ्टिंग — लैंग्लैंड्स कार्यक्रम और अंकगणित-ज्यामिति विधियों में मुख्य तकनीक बन गई, जो दीर्घवृत्तीय-वक्र क्रिप्टोग्राफी को भी सूचित करती है।

History

फर्मेट ने लगभग 1637 में डायोफैंटस की अपनी प्रति के हाशिये में इस दावे को दर्ज किया, जिसमें एक प्रमाण का दावा किया गया था जिसे उन्होंने कभी लिखा नहीं। यूलर, सोफी जर्मेन और कुम्मर ने अगली दो शताब्दियों में कई मामलों को सुलझाया; फ्रे, सेरे और रिबेट ने इसे 1980 के दशक में मॉड्यूलरिटी तक कम कर दिया, और वाइल्स ने 1993 में एक प्रमाण की घोषणा की, जिसे 1994 में टेलर के साथ पूरा किया गया और 1995 में प्रकाशित किया गया।

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

क्या फर्मेट के पास वास्तव में कोई प्रमाण था?

लगभग निश्चित रूप से कोई सही सामान्य प्रमाण नहीं था। आवश्यक विधियाँ केवल बीसवीं शताब्दी में विकसित की गईं, और कोई भी सत्रहवीं शताब्दी का तर्क उन धारणाओं पर निर्भर करता, जैसे अद्वितीय गुणनखंडन, जो प्रासंगिक वलयों में विफल हो जाती हैं।

घातों के बारे में एक समीकरण दीर्घवृत्तीय वक्रों से कैसे संबंधित है?

एक काल्पनिक समाधान को फ्रे दीर्घवृत्तीय वक्र में संकुलित किया जा सकता है; इसके अंकगणितीय गुण मॉड्यूलरिटी प्रमेय का खंडन करेंगे, इसलिए दीर्घवृत्तीय वक्रों की मॉड्यूलरिटी मूल समीकरण को अघुलनशील होने के लिए मजबूर करती है।