परिमित-तत्व और ग्रिड क्षेत्र सॉल्वर
जटिल ज्यामिति पर शास्त्रीय क्षेत्र समीकरणों को हल करने का अर्थ है अंतरिक्ष को तत्वों या ग्रिड कोशिकाओं में विभाजित करना और असतत समीकरणों को हल करना, जो अभिकलनात्मक विद्युत चुंबकत्व, संरचनात्मक यांत्रिकी और सातत्य भौतिकी के पीछे की विधि है।
Definition
परिमित-तत्व और ग्रिड क्षेत्र सॉल्वर संख्यात्मक विधियाँ हैं जो तत्वों या ग्रिड कोशिकाओं के एक जाल पर स्थानीय आधार कार्यों के साथ क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करके आंशिक अंतर क्षेत्र समीकरणों के समाधान का अनुमान लगाती हैं, जिससे हल करने के लिए एक बड़ी बीजगणितीय प्रणाली प्राप्त होती है।
Scope
यह विषय शास्त्रीय सातत्य क्षेत्र समस्याओं के ग्रिड-आधारित समाधान को शामिल करता है: परिमित-तत्व विधि अपनी कमजोर सूत्रीकरण और असंरचित जालों पर आधार कार्यों के साथ, परिमित-अंतर और परिमित-आयतन विकल्प, और परिणामी बड़े विरल रैखिक प्रणालियों का संयोजन और समाधान। यह सामान्य ज्यामिति पर स्थैतिक और समय-निर्भर क्षेत्र समस्याओं को संबोधित करता है।
Core questions
- परिमित-तत्व विधि एक कमजोर सूत्रीकरण के माध्यम से एक क्षेत्र समीकरण को बीजगणितीय प्रणाली में कैसे बदलती है?
- एक असंरचित जाल पर आधार कार्य क्षेत्र का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं?
- परिमित-तत्व, परिमित-अंतर और परिमित-आयतन विधियों की तुलना कैसे की जाती है?
- परिणामी बड़े विरल प्रणालियों को कैसे संयोजित और हल किया जाता है?
Key theories
- कमजोर सूत्रीकरण और गैलेर्किन विधि
- क्षेत्र समीकरण को एक अभिन्न कमजोर रूप में फिर से ढाला जाता है और समाधान को स्थानीय आधार कार्यों में विस्तारित किया जाता है, जिसमें गैलेर्किन स्थिति नोडल मानों के लिए एक विरल रैखिक प्रणाली का उत्पादन करती है।
- असंरचित जालन
- परिमित तत्व त्रिभुजों या चतुष्फलकों के साथ मनमानी ज्यामिति को टाइल करते हैं, जिससे स्थानीय शोधन की अनुमति मिलती है जहां क्षेत्र तेजी से बदलता है और स्वाभाविक रूप से जटिल सीमाओं को संभालता है जिन्हें नियमित ग्रिड नहीं कर सकते।
- विरल प्रणाली संयोजन और समाधान
- तत्व योगदानों को एक वैश्विक विरल कठोरता मैट्रिक्स में संयोजित किया जाता है, और प्रत्यक्ष या पुनरावृत्त विरल सॉल्वर के साथ रैखिक प्रणाली को हल करके क्षेत्र का पता लगाया जाता है।
Clinical relevance
परिमित-तत्व और ग्रिड सॉल्वर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों, संरचनाओं में तनाव और विरूपण, ऊष्मा स्थानांतरण और द्रव प्रवाह की गणना करते हैं, और अभिकलनात्मक विद्युत चुंबकत्व, संरचनात्मक यांत्रिकी और इंजीनियरिंग भौतिकी में मूलभूत हैं।
History
परिमित-तत्व विधि 1950 और 1960 के दशक में संरचनात्मक इंजीनियरिंग से विकसित हुई, जिसमें कूरेंट के पहले के परिवर्तनशील कार्य में गणितीय जड़ें थीं, और कंप्यूटिंग शक्ति और जाल उपकरण परिपक्व होने के साथ विद्युत चुंबकत्व, ऊष्मा स्थानांतरण और द्रव गतिशीलता तक फैल गई।
Key figures
- Olgierd Zienkiewicz
- Richard Courant
- Jian-Ming Jin
Related topics
Seminal works
- zienkiewicz2013
- jin2014
Frequently asked questions
- परिमित अंतरों पर परिमित तत्वों को कब प्राथमिकता दी जाती है?
- परिमित तत्व जटिल या घुमावदार ज्यामिति पर और जहां स्थानीय जाल शोधन की आवश्यकता होती है, वहां उत्कृष्ट होते हैं, क्योंकि वे असंरचित जालों के साथ मनमानी आकृतियों को टाइल करते हैं। परिमित अंतर नियमित ग्रिड और सरल डोमेन पर सरल और कुशल होते हैं।
- कमजोर सूत्रीकरण क्या है?
- यह एक अंतर समीकरण का एक अभिन्न, औसत पुनर्कथन है जिसके लिए समाधान को हर बिंदु पर नहीं बल्कि परीक्षण कार्यों के विरुद्ध समीकरण को संतुष्ट करने की आवश्यकता होती है। यह चिकनाई आवश्यकताओं को शिथिल करता है और वह गणितीय आधार है जो परिमित-तत्व विधि को कार्यशील बनाता है।