טנזור מומנט ההתמד
טנזור מומנט ההתמד מקודד את אופן התפלגות המסה של גוף קשיח סביב ציריו, ומקשר את התנע הזוויתי שלו למהירותו הזוויתית.
Definition
טנזור מומנט ההתמד הוא המטריצה הסימטרית של המומנטים השניים של התפלגות המסה של גוף קשיח, הממפה ליניארית את וקטור המהירות הזוויתית לווקטור התנע הזוויתי סביב נקודת הייחוס של הגוף.
Scope
נושא זה מכסה את הגדרת טנזור ההתמד כטנזור סימטרי מדרגה שנייה, את מומנטיו האלכסוניים ואת מכפלות ההתמד שאינן אלכסוניות, את קיומם של צירים ראשיים המלכסנים אותו, את משפטי הצירים המקבילים והצירים הניצבים, ואת הפרשנות של אליפסואיד ההתמד. הוא מסביר מדוע סיבוב מייצר בדרך כלל תנע זוויתי שאינו מיושר עם ציר הסיבוב.
Core questions
- כיצד טנזור ההתמד מקשר מהירות זוויתית לתנע זוויתי?
- מהם צירים ראשיים, ומדוע הם מפשטים את הדינמיקה הסיבובית?
- כיצד משפטי הצירים המקבילים והצירים הניצבים מסייעים בחישוב מומנטי התמד?
Key concepts
- טנזור התמד
- מכפלות התמד
- צירים ראשיים ומומנטים ראשיים
- משפט הצירים המקבילים
- משפט הצירים הניצבים
- אליפסואיד התמד
Key theories
- צירים ראשיים וליכסון
- מכיוון שטנזור ההתמד ממשי וסימטרי, ניתן ללכסן אותו כדי לקבל שלושה צירים ראשיים אורתוגונליים ומומנטים ראשיים, שלאורכם התנע הזוויתי והמהירות הזוויתית מקבילים.
- משפט הצירים המקבילים
- מומנט ההתמד סביב ציר כלשהו שווה למומנט סביב ציר מקביל העובר דרך מרכז המסה בתוספת המסה כפול ריבוע המרחק בין הצירים, מה שמקל על חישוב עבור צירים מוסטים.
Clinical relevance
טנזור ההתמד חיוני לאיזון מכונות מסתובבות כדי למנוע רעידות, לתכנון גלגלי תנופה וגירוסקופים, לחיזוי התהפכות של חלליות וקליעים, ולכל ניתוח הנדסי הדורש את התגובה הסיבובית של גוף מורחב.
History
הויגנס הציג את רדיוס הגירוסקופ ואת יחס הצירים המקבילים בעבודתו על המטוטלת המורכבת, ואוילר גיבש את מומנטי ומכפלות ההתמד עבור גופים שרירותיים במאה השמונה עשרה. אליפסואיד ההתמד של פואנסו העניק לטנזור פרשנות גיאומטרית חיה שנותרה סטנדרטית.
Key figures
- Leonhard Euler
- Louis Poinsot
- Christiaan Huygens
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- taylor2005
Frequently asked questions
- מהן מכפלות התמד?
- מכפלות התמד הן הרכיבים שאינם אלכסוניים של טנזור ההתמד, המכמתים את אי-הסימטריה של התפלגות המסה; הם מתאפסים כאשר הצירים נבחרים לאורך הצירים הראשיים, ומשאירים רק את המומנטים הראשיים.
- מדוע מומנט ההתמד הוא טנזור ולא מספר בודד?
- מספר בודד מספיק רק לסיבוב סביב ציר קבוע. עבור סיבוב תלת-ממדי כללי, האינרציה הסיבובית תלויה בכיוון, ולכן יש לתאר אותה באמצעות טנזור הממפה מהירות זוויתית לתנע זוויתי.