Méthodes de crible
Les méthodes de crible comptent systématiquement les entiers qui subsistent après la suppression de ceux divisibles par un ensemble de nombres premiers, fournissant les bornes les plus précises disponibles pour les nombres premiers, les nombres premiers jumeaux et les nombres presque premiers.
Definition
Une méthode de crible est une technique analytique-combinatoire qui estime la taille d'un ensemble d'entiers restant après la suppression de ceux divisibles par des nombres premiers d'un ensemble choisi, produisant des bornes supérieures et inférieures pour le dénombrement des nombres premiers et des nombres presque premiers.
Scope
Ce sujet couvre le crible d'inclusion-exclusion d'Ératosthène et de Legendre et ses limitations, le crible combinatoire de Brun, le crible quadratique de Selberg pour les bornes supérieures, l'inégalité du grand crible, le problème de parité qui empêche les cribles d'isoler uniquement les nombres premiers, et des applications telles que le théorème de Brun, le théorème de Chen et les résultats modernes sur les écarts bornés entre nombres premiers.
Core questions
- Comment l'inclusion-exclusion crible-t-elle les multiples, et pourquoi le crible naïf d'Ératosthène-Legendre perd-il le contrôle sur de nombreux nombres premiers de criblage ?
- Comment les cribles de Brun et de Selberg maîtrisent-ils les termes d'erreur pour fournir des bornes utilisables ?
- Qu'est-ce que le problème de parité, et pourquoi empêche-t-il les cribles classiques de compter exactement les nombres premiers ?
- Comment les méthodes de crible ont-elles produit des résultats tels que la constante de Brun, le théorème de Chen et les écarts premiers bornés ?
Key theories
- Le crible de Brun et le théorème de Brun
- En tronquant l'inclusion-exclusion à un niveau pair ou impair, Brun a obtenu des bornes supérieures utilisables et a prouvé que la somme des inverses des nombres premiers jumeaux converge, ce qui constitue le premier résultat majeur de la théorie des cribles.
- Le crible de Selberg et le grand crible
- Selberg a remplacé la troncature combinatoire en optimisant une forme quadratique pour obtenir des bornes supérieures précises, tandis que le grand crible fournit de fortes estimations de la valeur moyenne sur les classes de résidus et les caractères.
- Le problème de parité et les avancées modernes
- Les cribles ne peuvent pas, à eux seuls, distinguer les nombres ayant un nombre pair de facteurs premiers de ceux ayant un nombre impair ; la combinaison des cribles avec d'autres apports a permis d'obtenir le théorème de Chen et, plus récemment, l'existence d'une infinité d'écarts bornés entre les nombres premiers.
Clinical relevance
Les bornes de crible quantifient le nombre de nombres presque premiers et de nombres premiers situés dans des intervalles et des progressions donnés, soutenant les heuristiques utilisées dans les algorithmes de factorisation et dans la modélisation de l'approvisionnement en nombres premiers cryptographiquement appropriés.
History
La théorie des cribles a débuté avec la modification du crible d'Ératosthène par Brun vers 1915, qui a prouvé la convergence de la somme des inverses des nombres premiers jumeaux. Selberg a introduit son crible optimisé dans les années 1940 ; Chen a prouvé en 1973 que tout grand nombre pair est la somme d'un nombre premier et d'un nombre presque premier ; et les travaux de Zhang en 2013, affinés par Maynard et le projet Polymath, ont établi l'existence d'écarts bornés entre les nombres premiers.
Key figures
- Viggo Brun
- Atle Selberg
- Chen Jingrun
- Yitang Zhang
Related topics
Seminal works
- iwaniecKowalski2004
Frequently asked questions
- Qu'est-ce que le problème de parité en théorie des cribles ?
- Les cribles classiques ne peuvent pas distinguer les entiers ayant un nombre pair de facteurs premiers de ceux ayant un nombre impair, ils ne peuvent donc pas, à eux seuls, prouver qu'un ensemble criblé est composé de nombres premiers ; un apport arithmétique supplémentaire est nécessaire.
- Les méthodes de crible ont-elles prouvé la conjecture des nombres premiers jumeaux ?
- Pas la conjecture complète. Les cribles, combinés à de nouvelles idées, ont prouvé qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers séparées par un écart borné, mais démontrer que cet écart peut être de deux (nombres premiers jumeaux) reste une question ouverte.