Distribution des nombres premiers et le théorème des nombres premiers
Le théorème des nombres premiers précise l'intuition selon laquelle les nombres premiers se raréfient logarithmiquement : le nombre de nombres premiers jusqu'à une certaine limite est asymptotique à cette limite divisée par son logarithme naturel.
Definition
Le théorème des nombres premiers énonce que le nombre de nombres premiers ne dépassant pas x, noté pi de x, est asymptotiquement égal à x divisé par le logarithme naturel de x, ou de manière équivalente à l'intégrale logarithmique de x.
Scope
Ce sujet couvre la fonction de comptage des nombres premiers et ses asymptotiques, les bornes élémentaires de Tchebychev et les fonctions sommatoires psi et thêta, les théorèmes de Mertens, l'énoncé et la preuve analytique du théorème des nombres premiers via la non-annulation de la fonction zêta sur la droite de partie réelle un, l'approximation logarithmique-intégrale, les termes d'erreur et leur lien avec l'hypothèse de Riemann, ainsi que les écarts entre nombres premiers et les heuristiques des nombres premiers jumeaux.
Core questions
- Comment les bornes de Tchebychev et les estimations de Mertens contraignent-elles la densité des nombres premiers avant le théorème complet ?
- Pourquoi le théorème des nombres premiers est-il équivalent à l'absence de zéros de la fonction zêta sur la droite où la partie réelle est égale à un ?
- Quelle est la précision de l'approximation logarithmique-intégrale, et comment le terme d'erreur dépend-il de l'hypothèse de Riemann ?
- Que sait-on et que conjecture-t-on sur les écarts entre nombres premiers consécutifs, y compris les nombres premiers jumeaux ?
Key theories
- Théorème des nombres premiers
- Prouvé indépendamment par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896, il donne l'asymptotique principale pour le comptage des nombres premiers ; l'énoncé équivalent pour la fonction psi de Tchebychev est la forme analytiquement naturelle.
- Régions sans zéros et termes d'erreur
- La taille d'une région sans zéros pour zêta à gauche de la droite de partie réelle un contrôle l'erreur dans le théorème des nombres premiers ; l'hypothèse de Riemann donnerait l'erreur optimale de type racine carrée.
- Écarts entre nombres premiers et l'heuristique de Cramér
- Les écarts moyens près de x sont d'environ le logarithme de x ; les heuristiques probabilistes prédisent la distribution des grands et petits écarts, et les avancées dans les méthodes de crible ont prouvé l'existence d'une infinité d'écarts bornés.
Clinical relevance
La densité des nombres premiers donnée par le théorème indique aux cryptographes combien de candidats aléatoires doivent être testés pour trouver un nombre premier d'une taille donnée, régissant directement l'efficacité de la génération de clés RSA et Diffie-Hellman.
History
Gauss et Legendre ont conjecturé le nombre asymptotique de nombres premiers vers 1800. Tchebychev a établi des bornes supérieures et inférieures rigoureuses dans les années 1850, Riemann a esquissé la stratégie analytique en 1859, et Hadamard et de la Vallée Poussin ont achevé la preuve en 1896. Selberg et Erdos ont ensuite donné une preuve élémentaire en 1949.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Pafnuty Chebyshev
- Jacques Hadamard
- Charles-Jean de la Vallee Poussin
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Seminal works
- davenport2000
Frequently asked questions
- Le théorème des nombres premiers permet-il de prédire le nombre premier suivant ?
- Non. Il décrit la densité moyenne des nombres premiers sur de longues plages ; il ne détermine pas l'emplacement d'un nombre premier individuel, et les nombres premiers restent irréguliers à petite échelle.
- Comment le théorème est-il lié à l'hypothèse de Riemann ?
- Le théorème lui-même est inconditionnel, mais l'hypothèse de Riemann permettrait de déterminer la plus petite erreur possible dans l'approximation, contrôlant ainsi l'écart entre le nombre réel de nombres premiers et l'intégrale logarithmique.