Réciprocité quadratique
La loi de réciprocité quadratique, que Gauss a appelée le théorème d'or, établit une relation entre la propriété d'un nombre premier p d'être un carré modulo q et celle d'un nombre premier q d'être un carré modulo p, offrant ainsi un critère puissant et inattendument symétrique pour la résolubilité.
Definition
Un entier est un résidu quadratique modulo un nombre premier p s'il est congruent à un carré parfait modulo p. La réciprocité quadratique est le théorème qui relie, pour des nombres premiers impairs distincts p et q, la résolubilité de x au carré congruent à q modulo p avec celle de x au carré congruent à p modulo q.
Scope
Ce sujet aborde les résidus quadratiques et les non-résidus modulo un nombre premier, le critère d'Euler, le symbole de Legendre et sa multiplicativité, le symbole de Jacobi, les deux lois supplémentaires (pour moins un et pour deux), et la loi de réciprocité principale elle-même, y compris son rôle en tant que première occurrence des lois de réciprocité de la théorie des corps de classes.
Core questions
- Étant donné un nombre premier impair p, quels résidus sont des carrés, et comment le critère d'Euler permet-il de le déterminer ?
- Comment les symboles de Legendre et de Jacobi encodent-ils l'information sur les résidus et se comportent-ils de manière multiplicative ?
- Que stipule exactement la loi de réciprocité, et comment les lois supplémentaires traitent-elles moins un et deux ?
- Pourquoi la réciprocité quadratique est-elle considérée comme le prototype des lois de réciprocité supérieures de la théorie des corps de classes ?
Key theories
- Le critère d'Euler et le symbole de Legendre
- Un entier a est un résidu quadratique modulo un nombre premier impair p précisément lorsque a élevé à la puissance (p moins un)/2 est congruent à un ; le symbole de Legendre enregistre ce signe et est complètement multiplicatif par rapport à son argument supérieur.
- La loi de réciprocité quadratique
- Pour des nombres premiers impairs distincts p et q, le produit des deux symboles de Legendre est égal à moins un élevé à la puissance ((p moins un)/2)((q moins un)/2), de sorte que la réciprocité ne fait défaut que lorsque les deux nombres premiers sont congrus à trois modulo quatre.
- Les lois supplémentaires et le symbole de Jacobi
- Des règles distinctes déterminent quand moins un et deux sont des résidus, et le symbole de Jacobi étend le symbole de Legendre aux modules composés, permettant un calcul efficace sans factorisation.
Clinical relevance
La réciprocité et le symbole de Jacobi fournissent des algorithmes rapides pour déterminer la résiduité quadratique, utilisés dans les tests de primalité (Solovay-Strassen), dans le calcul des racines carrées modulo des nombres premiers, et dans les schémas cryptographiques dont la sécurité repose sur l'hypothèse de résiduité quadratique.
History
Conjecturée par Euler et Legendre, la loi a été entièrement démontrée pour la première fois par Gauss en 1796, qui y est revenu à plusieurs reprises et en a donné huit preuves différentes ; plus de deux cents preuves sont désormais connues. Sa généralisation à des puissances supérieures a motivé Eisenstein, Kummer, et finalement les lois de réciprocité de la théorie des corps de classes.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Adrien-Marie Legendre
- Leonhard Euler
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Seminal works
- irelandRosen1990
Frequently asked questions
- Pourquoi Gauss a-t-il démontré le même théorème huit fois ?
- Chaque preuve a éclairé différentes structures (sommes de Gauss, comptage de points de réseau, cyclotomie), et Gauss cherchait une preuve qui se généraliserait aux lois de réciprocité supérieures, ce qui a ensuite conduit au développement de la théorie algébrique des nombres.
- Quelle est la différence entre les symboles de Legendre et de Jacobi ?
- Le symbole de Legendre est défini pour un module premier impair et détecte précisément les résidus quadratiques ; le symbole de Jacobi le généralise aux modules composés impairs pour le calcul, mais une valeur de un ne garantit plus que le nombre est un résidu.