Groupes de tresses

Le groupe de tresses encode les différentes manières dont des brins peuvent s'entrelacer, fournissant une structure algébrique dont les fermetures produisent tous les nœuds et entrelacs, et dont les représentations génèrent des invariants de nœuds.

Definition

Le groupe de tresses à n brins est le groupe dont les générateurs échangent des brins adjacents, soumis aux relations de tresse ; il est simultanément le groupe fondamental de l'espace de configurations de n points dans le plan et le groupe de classes d'applications du disque à n perforations.

Scope

Ce sujet présente le groupe de tresses d'Artin par ses générateurs et relations, sa description comme groupe fondamental d'un espace de configurations et comme groupe de classes d'applications du disque perforé, ainsi que les problèmes du mot et de la conjugaison résolus par les formes normales de Garside. Il développe le lien entre les tresses et les entrelacs à travers le théorème d'Alexander (tout entrelacs est une fermeture de tresse) et le théorème de Markov (quelles tresses se ferment pour former le même entrelacs), et des représentations telles que la représentation de Burau et celle de Temperley-Lieb qui donnent naissance au polynôme de Jones.

Core questions

• Quelles relations définissent le groupe de tresses, et pourquoi capturent-elles l'entrelacement des brins ?
• Comment le théorème d'Alexander réalise-t-il tout entrelacs comme la fermeture d'une tresse ?
• Quelles tresses se ferment pour former le même entrelacs, comme l'explique le théorème de Markov ?
• Comment les représentations du groupe de tresses produisent-elles des invariants de nœuds tels que le polynôme de Jones ?

Key concepts

• Générateurs d'Artin et relations de tresse
• Le groupe de tresses comme espace de configurations et groupe de classes d'applications
• Les théorèmes d'Alexander et de Markov liant tresses et entrelacs
• Forme normale de Garside et problème du mot
• Représentations de Burau et de Temperley-Lieb

Clinical relevance

Les groupes de tresses sont centraux dans la construction d'invariants quantiques de nœuds, dans la théorie des groupes de classes d'applications et la topologie des surfaces, ainsi que dans le calcul quantique topologique, où l'entrelacement d'anyons réalise des portes quantiques.

History

Artin a défini et étudié le groupe de tresses dans ses articles de 1925 et 1947, établissant les générateurs, les relations et le problème du mot ; le théorème de Markov et les constructions ultérieures basées sur la théorie des représentations ont lié les tresses aux invariants de nœuds et, par l'intermédiaire de Jones, aux algèbres d'opérateurs.

Key figures

• Emil Artin
• Andrey Markov Jr.
• Vladimir Turaev

Seminal works

• kassel2008
• artin1947

Frequently asked questions

Comment les tresses sont-elles liées aux nœuds ?

La fermeture d'une tresse, en reliant le haut de chaque brin à son bas, produit un nœud ou un entrelacs ; le théorème d'Alexander stipule que tout entrelacs peut être obtenu de cette manière, et le théorème de Markov décrit précisément quand deux tresses donnent le même entrelacs.

Pourquoi les groupes de tresses sont-ils pertinents pour le calcul quantique ?

Dans le calcul quantique topologique, l'information quantique est stockée dans des anyons et traitée par leur entrelacement ; le groupe de tresses régit ces opérations, faisant de ses représentations un modèle pour des portes quantiques tolérantes aux pannes.