تصمیمناپذیری و مسئله توقف
مسئله توقف میپرسد که آیا یک برنامه مشخص در یک ورودی مشخص در نهایت متوقف میشود یا خیر، و اثبات تورینگ مبنی بر اینکه هیچ الگوریتمی نمیتواند به این سوال برای همه موارد پاسخ دهد، نمونه بنیانگذار یک مسئله تصمیمناپذیر است.
Definition
یک مسئله تصمیمگیری زمانی تصمیمناپذیر است که هیچ الگوریتمی نتواند برای هر ورودی به آن به درستی پاسخ دهد؛ مسئله توقف، که تصمیم میگیرد آیا یک برنامه دلخواه روی یک ورودی دلخواه متوقف میشود یا خیر، مسئله تصمیمناپذیر کانونی است که با یک استدلال قطری خودارجاعی اثبات شده است.
Scope
این موضوع شامل استدلال قطری که تصمیمناپذیری مسئله توقف را اثبات میکند، تمایز بین مسائل تصمیمپذیر، قابل تشخیص و همقابل تشخیص، قضیه رایس که نشان میدهد تمام ویژگیهای معنایی غیربدیهی برنامهها تصمیمناپذیر هستند، و فهرست مسائل تصمیمناپذیر طبیعی در منطق، ریاضیات و علوم کامپیوتر است.
Core questions
- چرا هیچ الگوریتم واحدی نمیتواند تصمیم بگیرد که آیا هر برنامهای متوقف میشود یا خیر؟
- تفاوت بین یک مسئله تصمیمپذیر و صرفاً قابل تشخیص چیست؟
- چرا اساساً تمام ویژگیهای جالب رفتار برنامه تصمیمناپذیر هستند؟
- چگونه تصمیمناپذیری از مسئله توقف به سایر مسائل گسترش مییابد؟
Key theories
- تصمیمناپذیری مسئله توقف
- فرض وجود الگوریتمی که توقف را تصمیم میگیرد، از طریق برنامهای که دقیقاً زمانی متوقف میشود که پیشبینی شده است متوقف نشود، به تناقض منجر میشود، بنابراین چنین الگوریتمی نمیتواند وجود داشته باشد.
- قضیه رایس
- هر ویژگی غیربدیهی تابع محاسبه شده توسط یک برنامه — هر چیزی که برای برخی برنامهها صادق باشد و برای برخی دیگر بر اساس رفتارشان صادق نباشد — تصمیمناپذیر است، که نتیجه توقف را به تمام ویژگیهای معنایی تعمیم میدهد.
Clinical relevance
از آنجا که توقف و، طبق قضیه رایس، تمام ویژگیهای رفتاری غیربدیهی برنامهها تصمیمناپذیر هستند، هیچ ابزاری نمیتواند حلقههای بینهایت را به طور کامل شناسایی کند، صحت دلخواه را تأیید کند، یا هر برنامهای را به طور کامل تحلیل کند؛ بنابراین تحلیلگرها و تأییدکنندههای ایستا باید تقریب بزنند، هشدارهای کاذب را بپذیرند، یا دامنه خود را محدود کنند.
History
تورینگ تصمیمناپذیری مسئله توقف و مسئله تصمیمگیری برای منطق را در سال ۱۹۳۶ با استفاده از یک استدلال قطری الهام گرفته از کانتور و گودل اثبات کرد. رایس تعمیم فراگیر خود را در سال ۱۹۵۳ اثبات کرد، و در دهههای بعدی بسیاری از مسائل طبیعی، از جمله دهمین مسئله هیلبرت در مورد معادلات دیوفانتی، تصمیمناپذیر نشان داده شدند.
Key figures
- Alan Turing
- Henry Gordon Rice
- Emil Post
- Alonzo Church
Related topics
Seminal works
- turing1937
- sipser2013
Frequently asked questions
- چرا نمیتوانیم فقط یک برنامه را اجرا کنیم تا ببینیم آیا متوقف میشود یا خیر؟
- اجرای آن فقط زمانی به شما میگوید که متوقف شده است که واقعاً متوقف شود؛ اگر قرار است برای همیشه اجرا شود، هیچ انتظار محدودی این را آشکار نمیکند. مسئله توقف نیازمند روشی است که همیشه در زمان محدود برای هر برنامه و ورودی پاسخ صحیح را بدهد، و تورینگ اثبات کرد که چنین روشی وجود ندارد.
- آیا تصمیمناپذیری تحلیل برنامه را ناامیدکننده میکند؟
- خیر، اما توضیح میدهد که چرا تحلیل کامل غیرممکن است. ابزارها با محافظهکار بودن، علامتگذاری هر چیزی که نمیتوانند ایمن بودن آن را اثبات کنند، با مدیریت دقیق کلاسهای محدود برنامهها، یا با حل بسیاری از موارد عملی در حالی که اعتراف میکنند ممکن است در موارد خصمانه یا پاتولوژیک شکست بخورند، کنار میآیند.