عملگرهای نامحدود
عملگرهای نامحدود، مانند دیفرانسیلگیری و ضرب در یک تابع نامحدود، در کل فضا تعریف نمیشوند؛ دقیق کردن آنها مستلزم توجه دقیق به دامنههایشان و خودالحاقی بودن آنها است.
Definition
یک عملگر نامحدود یک نگاشت خطی است که فقط بر روی یک زیرفضای چگال از یک فضای هیلبرت تعریف شده است که نرم آن محدود نیست؛ تحلیل بر روی مشخص کردن دامنه آن و تعیین اینکه آیا خودالحاق است، که شرط لازم برای تجزیه طیفی است، متمرکز است.
Scope
این موضوع شامل عملگرهای با دامنه چگال و نقش دامنه، عملگرهای بسته و بستهپذیر و گراف، الحاقی یک عملگر نامحدود، تمایز بین عملگرهای متقارن و خودالحاق، معیارهای خودالحاقی بودن و خودالحاقی اساسی، قضیه طیفی برای عملگرهای خودالحاق نامحدود، و قضیه استون که آنها را به گروههای یکانی مرتبط میکند، میشود.
Core questions
- چرا دامنه یک عملگر نامحدود باید با این دقت مشخص شود؟
- چگونه الحاقی یک عملگر نامحدود با حالت محدود متفاوت است؟
- چه چیزی یک عملگر متقارن را از یک عملگر واقعاً خودالحاق جدا میکند؟
- چگونه قضیه طیفی به عملگرهای خودالحاق نامحدود گسترش مییابد؟
Key theories
- قضیه طیفی برای عملگرهای خودالحاق نامحدود
- هر عملگر خودالحاق، چه محدود و چه نامحدود، دارای یک تجزیه طیفی به صورت انتگرال در برابر یک اندازه با ارزش تصویر بر روی طیف حقیقی خود است، نتیجهای که چنین عملگرهایی را به مدل دقیق برای مشاهدات کوانتومی تبدیل میکند.
- قضیه استون در مورد گروههای یکانی تکپارامتری
- گروههای تکپارامتری پیوسته قوی از عملگرهای یکانی دقیقاً با مولدهای خودالحاق مطابقت دارند، که عملگر خودالحاق پشت یک تکامل زمانی کوانتومی را شناسایی کرده و آن را به دینامیک مرتبط میسازد.
Clinical relevance
عملگرهای خودالحاق نامحدود، مشاهدات مکانیک کوانتومی هستند، از جمله موقعیت، تکانه و هامیلتونین؛ نظریه دقیق دامنهها و خودالحاقی بودن تعیین میکند که آیا یک سیستم کوانتومی دارای تکامل زمانی یکانی و خوشتعریف است یا خیر، که این موضوع را برای فیزیک ریاضی ضروری میسازد.
History
فون نویمان نظریه دقیق عملگرهای خودالحاق نامحدود را در حدود سال ۱۹۲۹ برای فراهم آوردن مبانی محکم برای مکانیک کوانتومی توسعه داد و عملگرهای متقارن را از عملگرهای خودالحاق متمایز کرد. قضیه استون در سال ۱۹۳۲ مولدهای خودالحاق را به تکامل زمانی یکانی مرتبط ساخت.
Key figures
- John von Neumann
- Marshall Stone
- Hermann Weyl
Related topics
Seminal works
- reedsimon1980
- schmudgen2012
Frequently asked questions
- چرا دامنه یک عملگر نامحدود اینقدر مهم است؟
- یک عملگر نامحدود نمیتواند بر روی هر برداری عمل کند، بنابراین فقط بر روی یک زیرفضای چگال تعریف میشود؛ انتخاب آن دامنه تعیین میکند که آیا عملگر خودالحاق است و بنابراین آیا قضیه طیفی و تفسیر فیزیکی اعمال میشوند یا خیر.
- تفاوت بین متقارن و خودالحاق چیست؟
- یک عملگر متقارن با الحاقی خود در دامنه خود توافق دارد، اما خودالحاقی بودن علاوه بر این مستلزم آن است که دامنهها نیز منطبق باشند؛ فقط عملگرهای واقعاً خودالحاق قضیه طیفی را میپذیرند و تکاملهای یکانی را تولید میکنند.