توزیع اعداد اول و قضیه اعداد اول
قضیه اعداد اول این شهود را دقیق میکند که اعداد اول به صورت لگاریتمی رقیق میشوند: تعداد اعداد اول تا یک کران، مجانبی است با آن کران تقسیم بر لگاریتم طبیعی آن.
Definition
قضیه اعداد اول بیان میکند که تعداد اعداد اولی که از x تجاوز نمیکنند، که با pi از x نشان داده میشود، به طور مجانبی برابر است با x تقسیم بر لگاریتم طبیعی x، یا به طور معادل با انتگرال لگاریتمی x.
Scope
این موضوع شامل تابع شمارش اعداد اول و مجانبهای آن، کرانهای مقدماتی چبیشف و توابع جمعی پسی و تتا، قضایای مرتنز، بیان و اثبات تحلیلی قضیه اعداد اول از طریق غیرصفر بودن تابع زتا در خطی با قسمت حقیقی یک، تقریب انتگرال لگاریتمی، جملات خطا و ارتباط آنها با فرضیه ریمان، و شکافهای اعداد اول و اکتشافات اولیه اعداد اول دوقلو میشود.
Core questions
- چگونه کرانهای چبیشف و تخمینهای مرتنز، چگالی اعداد اول را قبل از قضیه کامل محدود میکنند؟
- چرا قضیه اعداد اول معادل با این است که تابع زتا در خطی که قسمت حقیقی آن برابر با یک است، هیچ صفری نداشته باشد؟
- تقریب انتگرال لگاریتمی چقدر خوب است و جمله خطا چگونه به فرضیه ریمان بستگی دارد؟
- چه چیزی در مورد شکافهای بین اعداد اول متوالی، از جمله اعداد اول دوقلو، شناخته شده و حدس زده شده است؟
Key theories
- قضیه اعداد اول
- این قضیه که به طور مستقل توسط آدامار و دو لا واله پوسن در سال ۱۸۹۶ اثبات شد، مجانب اصلی را برای شمارش اعداد اول ارائه میدهد؛ بیان معادل آن برای تابع پسی چبیشف، شکل طبیعی تحلیلی است.
- مناطق بدون صفر و جملات خطا
- اندازه یک منطقه بدون صفر برای تابع زتا در سمت چپ خط با قسمت حقیقی یک، خطای قضیه اعداد اول را کنترل میکند؛ فرضیه ریمان بهینه ترین خطای از نوع ریشه دوم را ارائه میدهد.
- شکافهای اعداد اول و اکتشافات کرامِر
- شکافهای متوسط نزدیک x تقریباً برابر با لگاریتم x هستند؛ اکتشافات احتمالی توزیع شکافهای بزرگ و کوچک را پیشبینی میکنند، و پیشرفتهای غربالگری وجود بینهایت شکاف محدود را اثبات کردهاند.
Clinical relevance
چگالی اعداد اول که توسط این قضیه ارائه میشود، به رمزنگاران میگوید که برای یافتن یک عدد اول با اندازه معین، چه تعداد کاندید تصادفی باید آزمایش شوند، که مستقیماً کارایی تولید کلید RSA و دیفی-هلمن را کنترل میکند.
History
گاوس و لژاندر حدود سال ۱۸۰۰ میلادی، شمارش مجانبی اعداد اول را حدس زدند. چبیشف در دهه ۱۸۵۰ میلادی، کرانهای بالا و پایین دقیقی را تعیین کرد، ریمان در سال ۱۸۵۹ میلادی، استراتژی تحلیلی را ترسیم کرد، و آدامار و دو لا واله پوسن در سال ۱۸۹۶ میلادی، اثبات را تکمیل کردند. سلبرگ و اردوش بعدها در سال ۱۹۴۹ میلادی، یک اثبات مقدماتی ارائه دادند.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Pafnuty Chebyshev
- Jacques Hadamard
- Charles-Jean de la Vallee Poussin
Related topics
Seminal works
- davenport2000
Frequently asked questions
- آیا قضیه اعداد اول به شما امکان میدهد عدد اول بعدی را پیشبینی کنید؟
- خیر. این قضیه چگالی متوسط اعداد اول را در محدودههای طولانی توصیف میکند؛ مکان هیچ عدد اول خاصی را تعیین نمیکند و اعداد اول در مقیاسهای کوچک نامنظم باقی میمانند.
- این قضیه چه ارتباطی با فرضیه ریمان دارد؟
- خود قضیه بدون قید و شرط است، اما فرضیه ریمان کوچکترین خطای ممکن در تقریب را مشخص میکند و کنترل میکند که شمارش واقعی اعداد اول چقدر میتواند از انتگرال لگاریتمی منحرف شود.