سریهای دیریکله و تابع زتای ریمان
سریهای دیریکله، دنبالههای حسابی را به توابع تحلیلی تبدیل میکنند و مهمترین آنها، تابع زتای ریمان، اعداد اول را از طریق حاصلضرب اویلر خود و توزیع دقیق اعداد اول را از طریق صفرهای مختلط خود کدگذاری میکند.
Definition
سری دیریکله، سریای به شکل مجموع بر روی n از a_n تقسیم بر n به توان s است که در آن s مختلط است. تابع زتای ریمان، سری دیریکلهای است که تمام ضرایب آن برابر با یک هستند و به صورت تحلیلی به یک تابع مرومورفیک در صفحه مختلط ادامه یافته است.
Scope
این موضوع شامل سریهای دیریکله و طول همگرایی آنها، حاصلضربهای اویلر برای ضرایب ضربی، تعریف تابع زتای ریمان برای بخش حقیقی بزرگتر از یک، ادامه تحلیلی آن به کل صفحه، معادله تابعی، صفرهای بدیهی و غیربدیهی، نوار بحرانی و خط بحرانی، و ارتباط بین صفرها و شمارش اعداد اول از طریق فرمول صریح است.
Core questions
- سری دیریکله در کجا همگرا میشود و چگونه حاصلضرب اویلر، ضربپذیری ضرایب آن را منعکس میکند؟
- تابع زتا چگونه فراتر از ناحیه همگرایی خود ادامه مییابد و معادله تابعی آن چیست؟
- صفرهای زتا کجا قرار دارند و چه چیزی صفرهای بدیهی را از صفرهای غیربدیهی در نوار بحرانی متمایز میکند؟
- فرمول صریح چگونه اطلاعات مربوط به صفرها را به اطلاعات مربوط به توزیع اعداد اول تبدیل میکند؟
Key theories
- حاصلضرب اویلر
- برای بخش حقیقی بزرگتر از یک، تابع زتا برابر است با حاصلضرب بر روی تمام اعداد اول از عوامل هندسی یک بر روی یک منهای p به توان منفی s، که یک کدگذاری تحلیلی از تجزیه یکتا است.
- ادامه تحلیلی و معادله تابعی
- زتا به یک تابع مرومورفیک با یک قطب ساده در s برابر با یک گسترش مییابد و یک معادله تابعی را برآورده میکند که مقادیر آن را در s و یک منهای s از طریق تابع گاما به هم مرتبط میکند و تقارنی را در مورد خط بحرانی آشکار میسازد.
- صفرها و فرمول صریح
- صفرهای بدیهی در اعداد صحیح زوج منفی قرار دارند؛ صفرهای غیربدیهی در نوار بحرانی قرار دارند و فرمول صریح، تابع شمارش اعداد اول را به عنوان مجموعی بر روی این صفرها بیان میکند، که مکان آنها را کلید توزیع اعداد اول میسازد.
Clinical relevance
فرضیه ریمان در مورد مکان صفرهای غیربدیهی، دقیقترین کرانهای خطا را برای شمارش اعداد اول تعیین میکند؛ این کرانها، تخمینهایی را تغذیه میکنند که در تحلیل امنیت رمزنگاری و در تحلیل دقیق الگوریتمهای نظریه اعداد استفاده میشوند.
History
اویلر در قرن هجدهم، سری تابع زتا را در آرگومانهای صحیح مطالعه کرد و حاصلضرب اویلر آن را یافت. مقاله ریمان در سال ۱۸۵۹، s را به عنوان یک متغیر مختلط در نظر گرفت، ادامه تحلیلی و معادله تابعی را برقرار کرد و فرضیه مربوط به صفرهای آن را که نام او را یدک میکشد و هنوز اثبات نشده است، بیان کرد.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Leonhard Euler
- Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Related topics
Seminal works
- apostol1976
Frequently asked questions
- خط بحرانی چیست؟
- این خط عمودی در صفحه مختلط است که بخش حقیقی s برابر با یک دوم است؛ فرضیه ریمان ادعا میکند که هر صفر غیربدیهی تابع زتا بر روی آن قرار دارد.
- چرا حاصلضرب اویلر مهم است؟
- این حاصلضرب، تابع زتا را به عنوان حاصلضرب بر روی اعداد اول بیان میکند، که بیان تحلیلی دقیقی است مبنی بر اینکه هر عدد صحیح به طور یکتا به اعداد اول تجزیه میشود و پلی بین زتا و اعداد اول است.