مربع‌های لاتین و هندسه‌های متناهی

مربع لاتین یک آرایه مربعی است که در آن هر نماد یک بار در هر سطر و ستون ظاهر می‌شود، و هندسه‌های متناهی سیستم‌های برخورد بسیار ساختاریافته‌ای بر روی تعداد متناهی از نقاط و خطوط هستند.

Definition

مربع لاتین از مرتبه n یک آرایه n در n است که با n نماد پر شده است به طوری که هر نماد دقیقاً یک بار در هر سطر و هر ستون ظاهر می‌شود؛ یک صفحه تصویری متناهی یک ساختار برخورد از نقاط و خطوط است که در آن هر دو نقطه بر روی یک خط منحصر به فرد قرار دارند و هر دو خط در یک نقطه منحصر به فرد به هم می‌رسند.

Scope

این موضوع به مربع‌های لاتین و مربع‌های لاتین متعامد متقابل، هم‌ارزی آن‌ها با شبکه‌ها و طرح‌های عرضی، و صفحات تصویری و آفین متناهی ساخته شده از میدان‌های متناهی می‌پردازد. این شامل حدس کلاسیک اویلر در مورد مربع‌های متعامد و ارتباط عمیق بین مربع‌های لاتین متعامد متقابل و صفحات تصویری متناهی است.

Core questions

• چند مربع لاتین متعامد متقابل از یک مرتبه معین می‌توانند وجود داشته باشند؟
• برای کدام مرتبه‌ها مجموعه‌های کاملی از مربع‌های متعامد، و در نتیجه صفحات تصویری، وجود دارند؟
• میدان‌های متناهی چگونه صفحات و مربع‌های متعامد را می‌سازند؟
• کدام اصول موضوعه برخورد، هندسه‌های آفین و تصویری را بر روی مجموعه‌های متناهی تعریف می‌کنند؟

Key concepts

• مربع لاتین
• مربع‌های لاتین متعامد متقابل
• طرح‌های عرضی و شبکه‌ها
• صفحه تصویری متناهی
• صفحه آفین
• میدان‌های گالوا (متناهی)

Key theories

MOLS و صفحات تصویری

یک مجموعه کامل از n-1 مربع لاتین متعامد متقابل از مرتبه n تنها در صورتی وجود دارد که یک صفحه تصویری متناهی از مرتبه n وجود داشته باشد، که ترکیبیات مربع لاتین را به هندسه متناهی پیوند می‌دهد.

رد حدس اویلر

اویلر حدس زد که هیچ جفت مربع لاتین متعامدی برای مرتبه‌هایی که به ۲ پیمانه ۴ هم‌نهشت هستند وجود ندارد؛ بوس، شریکانده و پارکر این را در سال ۱۹۶۰ برای تمام این مرتبه‌ها به جز ۲ و ۶ رد کردند.

Clinical relevance

مربع‌های لاتین طرح‌های آزمایشی سطر-ستون را فراهم می‌کنند که دو منبع تغییر را به طور همزمان کنترل می‌کنند، آرایه‌های متعامد از آزمایش‌های عاملی و تست نرم‌افزار پشتیبانی می‌کنند، و هندسه‌های متناهی کدها و طرح‌ها را تولید می‌کنند.

History

اویلر در سال ۱۷۸۲ مربع‌های لاتین متعامد را از طریق مسئله سی و شش افسر خود مورد مطالعه قرار داد؛ حدس او تا رد شدن آن در سال ۱۹۶۰ توسط بوس، شریکانده و پارکر، که به عنوان خرابکاران اویلر شناخته می‌شوند، پابرجا بود.

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

منظور از متعامد بودن دو مربع لاتین چیست؟

هنگامی که دو مربع روی هم قرار می‌گیرند، هر جفت مرتب شده از نمادها دقیقاً یک بار رخ می‌دهد، بنابراین مربع‌ها به طور مشترک هر خانه از شبکه را متمایز می‌کنند.

آیا جدول سودوکو یک مربع لاتین است؟

یک سودوکوی تکمیل شده یک مربع لاتین از مرتبه نه است با این محدودیت اضافی که هر جعبه سه در سه نیز هر نماد را یک بار شامل می‌شود.