طرح‌های بلوکی

یک طرح بلوکی، عناصر را در بلوک‌هایی مرتب می‌کند به گونه‌ای که هر جفت، یا به طور کلی هر زیرمجموعه t-تایی، از عناصر در تعداد ثابتی از بلوک‌ها با هم ظاهر می‌شوند.

Definition

یک طرح بلوکی ناقص متعادل، مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های هم‌اندازه (بلوک‌ها) از یک مجموعه متناهی از نقاط است به گونه‌ای که هر جفت نقطه دقیقاً در یک تعداد مشخصی از بلوک‌ها قرار می‌گیرد.

Scope

این موضوع طرح‌های بلوکی ناقص متعادل و پارامترهای آن‌ها، شرایط شمارشی لازم، سیستم‌های اشتاینر و طرح‌های t-تایی، و تکنیک‌های وجود و ساخت از جمله مجموعه‌های تفاضلی و نابرابری فیشر را پوشش می‌دهد. این موضوع سؤالات وجودی ترکیبیاتی را به جبر و نظریه آماری طراحی آزمایش‌ها مرتبط می‌کند.

Core questions

• برای کدام مجموعه‌های پارامتری، یک طرح متعادل وجود دارد؟
• چه شرایط تقسیم‌پذیری و شمارشی را پارامترهای طرح باید برآورده کنند؟
• چگونه می‌توان طرح‌ها را از مجموعه‌های تفاضلی و میدان‌های متناهی ساخت؟
• چگونه طرح‌های t-تایی و سیستم‌های اشتاینر تعادل زوجی را تعمیم می‌دهند؟

Key concepts

• طرح بلوکی ناقص متعادل
• پارامترهای طرح (v, b, r, k, lambda)
• سیستم‌های اشتاینر
• طرح‌های t-تایی
• مجموعه‌های تفاضلی
• ماتریس وقوع

Key theories

نابرابری فیشر

در هر طرح بلوکی ناقص متعادل غیربدیهی، تعداد بلوک‌ها حداقل به اندازه تعداد نقاط است، که یک محدودیت اساسی است که با استدلال رتبه جبر خطی بر روی ماتریس وقوع اثبات شده است.

قضیه بروک-رایزر-چاولا

این قضیه شرایط حسابی را ارائه می‌دهد که پارامترهای یک طرح متقارن برای وجود باید برآورده کنند، و بی‌نهایت مجموعه پارامتری، از جمله برخی صفحات تصویری، را رد می‌کند.

Clinical relevance

طرح‌های بلوکی در طراحی آماری آزمایش‌ها پدید آمدند و همچنان در آن مرکزی هستند، و امکان مقایسه منصفانه درمان‌ها را فراهم می‌کنند، زمانی که همه آن‌ها نمی‌توانند با هم ظاهر شوند، و همچنین کدهای تصحیح خطا و مجموعه‌های آزمایشی ترکیبیاتی را تولید می‌کنند.

History

اشتاینر در سال ۱۸۵۳ سؤالات وجودی سیستم‌های سه‌تایی را مطرح کرد؛ فیشر و ییتس طرح‌هایی را برای آزمایش‌های کشاورزی در دهه ۱۹۳۰ توسعه دادند، و بوس و دیگران یک نظریه ساختاری جبری عمیق را در اواسط قرن بیستم بنا نهادند.

Key figures

• Ronald Fisher
• Jakob Steiner
• R. C. Bose

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

سیستم سه‌تایی اشتاینر چیست؟

این یک طرح است که بلوک‌های آن سه‌تایی هستند به گونه‌ای که هر جفت نقطه دقیقاً در یک بلوک قرار می‌گیرد؛ چنین سیستم‌هایی دقیقاً زمانی وجود دارند که تعداد نقاط با ۱ یا ۳ به پیمانه ۶ هم‌نهشت باشد.

چرا طرح‌های بلوکی در آزمایش‌ها مفید هستند؟

هنگامی که یک آزمایش نمی‌تواند همه درمان‌ها را با هم آزمایش کند، یک طرح متعادل تضمین می‌کند که هر جفت درمان به طور مساوی مقایسه می‌شود و سوگیری سیستماتیک را از بین می‌برد.