نظمپذیری افرازی و نظریه رمزی ساختاری
نظریه رمزی ساختاری نشان میدهد که هرگاه اعداد صحیح یا ساختارهای غنی دیگر به تعداد متناهی دسته افراز شوند، حداقل یک دسته باید شامل الگوهای حسابی یا ترکیبیاتی از پیش تعیین شده باشد.
Definition
یک سیستم یا الگو نظمپذیر افرازی است اگر برای هر افراز مجموعه زیرین به تعداد متناهی دسته، حداقل یک دسته شامل یک راهحل یا نمونهای از الگو باشد؛ نظریه رمزی ساختاری بررسی میکند که کدام الگوها این ویژگی را دارند.
Scope
این موضوع نظمپذیری افرازی بر روی اعداد صحیح – شامل قضیه شور، قضیه ون در واردن در مورد تصاعدهای حسابی تکرنگ، و مشخصه رادو برای معادلات نظمپذیر افرازی – همراه با قضیه هیلز-جویت، که نتیجه خط ترکیبیاتی انتزاعی است و بسیاری از این موارد از آن تبعیت میکنند، را پوشش میدهد. این نظریه رمزی را در چارچوب ترکیبیات جمعی قرار میدهد.
Core questions
- کدام الگوهای حسابی باید در برخی از دستههای هر رنگآمیزی متناهی از اعداد صحیح ظاهر شوند؟
- چه زمانی یک معادله خطی تحت هر رنگآمیزی یک راهحل تکرنگ دارد؟
- قضیه هیلز-جویت چگونه این نتایج افرازی را یکپارچه میکند؟
- این نتایج چگونه به چگالیها و ترکیبیات جمعی مرتبط میشوند؟
Key concepts
- نظمپذیری افرازی
- قضیه شور
- قضیه ون در واردن
- قضیه رادو
- قضیه هیلز-جویت
- خطوط ترکیبیاتی
Key theories
- قضیه ون در واردن
- برای هر تعداد رنگ و هر طول هدف، یک عدد صحیح N وجود دارد به طوری که هر رنگآمیزی اعداد صحیح از یک تا N شامل یک تصاعد حسابی تکرنگ با آن طول است.
- قضیه هیلز-جویت
- در یک مکعب ترکیبیاتی با ابعاد بالا بر روی یک الفبای ثابت، هر رنگآمیزی متناهی شامل یک خط ترکیبیاتی تکرنگ است، یک قضیه اصلی که قضیه ون در واردن و بسیاری از نتایج افرازی دیگر را در بر میگیرد.
Clinical relevance
این نتایج نظمپذیری افرازی سنگ بنای ترکیبیات جمعی و نظریه اعداد هستند که به قضیه سمرِدی در مورد تصاعدهای حسابی و قضیه گرین-تائو در مورد اعداد اول مرتبط میشوند و استدلالهای ساختار در مقابل تصادفی بودن را در سراسر ریاضیات روشن میکنند.
History
قضیه شور در سال ۱۹۱۶ و قضیه ون در واردن در سال ۱۹۲۷ در مورد تصاعدهای حسابی، نظریه افراز اعداد صحیح را آغاز کردند که رادو آن را نظاممند کرد و قضیه هیلز-جویت در سال ۱۹۶۳ آن را به صورت انتزاعی یکپارچه ساخت.
Key figures
- Bartel van der Waerden
- Issai Schur
- Richard Rado
Related topics
Seminal works
- graham1990
- landman2003
Frequently asked questions
- قضیه ون در واردن چه چیزی را تضمین میکند؟
- هر طور که اعداد کامل تا یک حد بزرگ به چند دسته رنگی تقسیم شوند، یک دسته مجبور است شامل یک دنباله با فاصله یکنواخت با هر طول دلخواه باشد.
- چرا قضیه هیلز-جویت یک قضیه اصلی نامیده میشود؟
- زیرا قضیه ون در واردن و چندین نتیجه افرازی دیگر به عنوان موارد خاصی از بیان آن در مورد خطوط ترکیبیاتی تکرنگ نتیجه میشوند.