گروه گالوا
گروه گالوا یک توسیع میدانی، گروهی از خودریختیهای میدان است که میدان پایه را ثابت نگه میدارد و تقارنهای ریشههای یک چندجملهای را کدگذاری میکند و میدانهای میانی را فهرستبندی مینماید.
Definition
برای یک توسیع میدانی، گروه گالوا گروهی از خودریختیهای میدان بزرگتر است که هر عنصر میدان پایه را ثابت نگه میدارد؛ این توسیع زمانی گالوا نامیده میشود که این گروه به بزرگی درجه باشد، که دقیقاً برای توسیعهای متناهی نرمال و تفکیکپذیر اتفاق میافتد.
Scope
این موضوع شامل خودریختیهای توسیعهای میدانی، تعریف گروه گالوا، توسیعهای نرمال و تفکیکپذیر، قضیه اساسی نظریه گالوا، و محاسبه گروههای گالوا چندجملهایها و تفسیر آنها به عنوان گروههای جایگشتی ریشهها میشود.
Core questions
- یک توسیع میدانی چه تقارنهایی دارد؟
- چه زمانی یک توسیع گالوا است و گروه خودریختی آن چقدر بزرگ است؟
- گروه گالوا چگونه با میدانهای میانی مطابقت دارد؟
- گروه گالوا یک چندجملهای چگونه به عنوان یک گروه جایگشتی از ریشههای آن تحقق مییابد؟
Key theories
- قضیه اساسی نظریه گالوا
- برای یک توسیع گالوا متناهی، یک تناظر دوسویه معکوسکننده شمول بین میدانهای میانی و زیرگروههای گروه گالوا وجود دارد، که تحت آن درجه یک زیرتوسیع برابر با اندیس زیرگروه متناظر است.
- گروه گالوا به عنوان جایگشتهای ریشهها
- گروه گالوا یک چندجملهای تفکیکپذیر به طور وفادار بر ریشههای آن عمل میکند و آن را به عنوان یک زیرگروه از گروه متقارن بر روی آن ریشهها جاسازی میکند، که گروه را محدود کرده و به محاسبه آن کمک میکند.
- قضیه آرتین در مورد میدانهای ثابت
- اگر یک گروه متناهی از خودریختیها بر روی یک میدان عمل کند، کل میدان یک توسیع گالوا از زیرمیدان ثابت با آن گروه به عنوان گروه گالوا آن است، که یک عکس برای ساخت گروههای گالوا ارائه میدهد.
Clinical relevance
گروه گالوا پرسشهای مربوط به توسیعهای میدانی و معادلات چندجملهای را به نظریه گروهها تبدیل میکند؛ حلپذیری آن، حلپذیری با رادیکالها را تعیین میکند، و مسئله معکوس گالوا و نمایشهای گالوا آن را در نظریه اعداد مدرن و هندسه حسابی محوری میسازد.
History
گالوا در دهه ۱۸۳۰ به هر معادله یک گروه از جایگشتهای ریشههای آن را نسبت داد که گروه گالوا اصلی بود. ددکیند و آرتین این مفهوم را بر حسب خودریختیهای میدانها بازتعریف کردند، و فرمولبندی آرتین بر حسب میدانهای ثابت به این نظریه شکل مدرن و مفهومی آن را بخشید.
Key figures
- Évariste Galois
- Emil Artin
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- lang2002
- artin2011
Frequently asked questions
- چه زمانی یک توسیع میدانی گالوا است؟
- یک توسیع متناهی زمانی گالوا است که هم نرمال (شامل تمام مزدوجهای هر یک از عناصر خود باشد) و هم تفکیکپذیر (چندجملهایهای مینیمال ریشههای متمایز داشته باشند) باشد. به طور معادل، گروه خودریختی که پایه را ثابت نگه میدارد، مرتبهای برابر با درجه دارد.
- چرا گروه گالوا را به عنوان جایگشت ریشهها در نظر میگیریم؟
- یک خودریختی که میدان پایه را ثابت نگه میدارد باید ریشههای یک چندجملهای را به ریشههای دیگر بفرستد، بنابراین گروه بر مجموعه متناهی ریشهها عمل میکند. این امر گروه گالوا را در یک گروه متقارن تحقق میبخشد و آن را قابل محاسبه میکند و به نظریه گروههای جایگشتی مرتبط میسازد.