میدان‌های عددی و حلقه‌های اعداد صحیح

یک میدان عددی (number field) یک توسیع متناهی از اعداد گویا است و حلقه اعداد صحیح آن، آنالوگ حسابی طبیعی اعداد صحیح معمولی است — یک دامنه ددکیند (Dedekind domain) که در آن ایده‌آل‌ها، نه عناصر، به طور منحصر به فرد تجزیه می‌شوند.

Definition

یک میدان عددی، یک توسیع میدان با درجه متناهی از اعداد گویا است؛ حلقه اعداد صحیح آن شامل عناصری است که ریشه‌های چندجمله‌ای‌های تکین (monic polynomials) با ضرایب صحیح هستند و یک دامنه ددکیند را تشکیل می‌دهند.

Scope

این موضوع شامل اعداد جبری و اعداد صحیح جبری، میدان‌های عددی و درجه و تعبیه‌های (embeddings) آن‌ها، حلقه اعداد صحیح به عنوان بستار صحیح (integral closure) اعداد صحیح در میدان، پایه‌های صحیح (integral bases) و ممیز میدان (field discriminant)، توصیف حلقه‌های اعداد صحیح به عنوان دامنه‌های ددکیند، و تجزیه منحصر به فرد ایده‌آل‌های ناصفر به ایده‌آل‌های اول می‌شود.

Core questions

• کدام عناصر یک میدان عددی به عنوان اعداد صحیح محسوب می‌شوند و چرا آن‌ها یک حلقه را تشکیل می‌دهند؟
• پایه صحیح چیست و ممیز یک میدان عددی چگونه تعریف و محاسبه می‌شود؟
• چه ویژگی‌هایی حلقه اعداد صحیح را به یک دامنه ددکیند تبدیل می‌کند؟
• چگونه تجزیه منحصر به فرد ایده‌آل‌ها جایگزین تجزیه منحصر به فرد عناصر می‌شود؟

Key theories

حلقه اعداد صحیح و بستار صحیح

اعداد صحیح جبری در یک میدان عددی، حلقه اعداد صحیح آن را تشکیل می‌دهند که بستار صحیح اعداد صحیح در میدان است؛ این یک مدول آزاد با رتبه‌ای برابر با درجه میدان است که دارای یک پایه صحیح است.

دامنه‌های ددکیند و تجزیه ایده‌آل‌ها

حلقه‌های اعداد صحیح نوتری (Noetherian)، بستار صحیح (integrally closed) و از بعد یک هستند — یعنی دامنه‌های ددکیند — و در هر دامنه ددکیند، هر ایده‌آل ناصفر به طور منحصر به فرد به ایده‌آل‌های اول تجزیه می‌شود.

ممیز

ممیز یک پایه صحیح، یک ناوردا (invariant) صحیح از میدان است که اعداد اول منشعب (ramified primes) را تشخیص می‌دهد و میدان را از طریق کران مینکوفسکی (Minkowski's bound) و قضیه متناهی بودن هرمیت (Hermite's finiteness theorem) محدود می‌کند.

Clinical relevance

حلقه‌های اعداد صحیح و ساختار ایده‌آل آن‌ها بستری برای الگوریتم تجزیه غربال میدان عددی (number field sieve factorization algorithm) و رمزنگاری شبکه‌ای ایده‌آل (ideal-lattice cryptography) هستند، جایی که حساب یک حلقه صحیح منبع هم مسائل دشوار و هم عملیات کارآمد است.

History

کومر در دهه ۱۸۴۰ با اعداد صحیح سیکلوتومیک (cyclotomic integers) و اعداد ایده‌آل (ideal numbers) کار کرد. ددکیند، در مکمل‌هایی بر سخنرانی‌های دیریکله از دهه ۱۸۷۰، حلقه اعداد صحیح و مفهوم مدرن یک ایده‌آل را تعریف کرد و تجزیه منحصر به فرد ایده‌آل‌ها را اثبات نمود و نظریه انتزاعی را بنیان نهاد.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

آیا حلقه اعداد صحیح همیشه یک دامنه تجزیه یکتا (unique factorization domain) است؟

خیر. عناصر لزوماً به طور منحصر به فرد تجزیه نمی‌شوند، اما حلقه همیشه یک دامنه ددکیند است، بنابراین ایده‌آل‌ها تجزیه می‌شوند؛ حلقه دقیقاً زمانی یک دامنه تجزیه یکتا است که عدد رده (class number) آن یک باشد.

ممیز چه چیزی را به شما می‌گوید؟

ممیز میدان یک ناوردا صحیح است که مقسوم‌علیه‌های اول آن دقیقاً همان اعداد اولی هستند که در میدان منشعب می‌شوند، و اندازه آن میزان پیچیدگی میدان را محدود می‌کند.